Mi sembra che, oltre a quella riportata nel post sotto, si possa individuare un'ulteriore condizione affinché l'insieme (in cui è definita una legge di composizione associativa) sia un gruppo.
luca69 ha scritto:Se:
i) $ \EE e $ tale che $ AAx $ risulta $ ex=x $ (unità sinistra)
ii) $ AAx, EEy $ tale che $ yx=e $ (inversi sinistri)
allora:
$ xy= $ [uso i)] $ x(ey)= $ [associatività] $ xey= $ [uso ii)] $ x(yx)y= $ [associatività] $ (xy)(xy) $; sia $ z $ tale che $ z(xy)=e $ [un tale $ z $ esiste perché $ xy $ sta nell'insieme (chiusura) e per ii)]; allora, moltiplicando a sinistra per $ z $ e usando ancora l'associatitivà, $ z(xy)=(z(xy))(xy) $, ovvero $ e=e(xy)= $ [uso ancora i)] $ e=xy $, per cui $ y $ è anche inverso destro. Con ciò, inoltre (evito di scrivere le motivazioni tra [.]), $ xe=x(yx)=(xy)x=ex=x $, per cui $ e $ è anche unità destra.
E' l'esistenza "combinata" di unità e inversi "da un lato" che comporta l'esistenza di unità e inversi "dall'altro lato", e questi coincidenti con quelli. Magari però ho frainteso il tuo dubbio...
Se esiste unità sinistra, allora $AAx,y$ si ha che $yx=y(ex)=(ye)x$. Pertanto,
se vale anche la legge di cancellazione a destra, $e$ è anche unità destra.
Se si ipotizza inoltre l'esistenza di inversi destri, per il
quote (versione "destra" al posto di "sinistra") si conclude che l'insieme è un gruppo.
[ Equivalentemente: supponiamo che esistano elementi dell'insieme che
non ammettono inversi sinistri: $EEx$ tale che $yx \ne e, AAy$;
se vale la legge di cancellazione a destra, la precedente implica che $EEx$ tale che $yxy \ne ey=$(per ipotesi
esiste unità sinistra)$=y$, $AAy$;
se vale inoltre l'esistenza di inversi destri, allora la mappa $y mapsto yx$ è suriettiva, e quindi la precedente diventa $wy \ne y, AAw,y$: nessun elemento dell'insieme avrebbe unità sinistra, contraddizione. Pertanto esistono anche inversi sinistri, e per il
quote si conclude. ]
Si può riassumere il tutto dicendo che, un insieme in cui è definita una legge di composizione associativa è un gruppo se vale almeno una delle due seguenti condizioni (e analoghe con le sostituzioni "sx"$leftrightarrow$"dx"):
1) unità sx $wedge$ inversi sx
2) unità sx $wedge$ inversi dx $wedge$ cancellazione a dx
E' noto invece che
non sono sufficienti le condizioni:
a) unità sx $wedge$ inversi dx (v. Herstein,
Topics in Algebra, Es. 13 a pag. 36)
b) cancellazione a sx $wedge$ cancellazione a dx (se non per insiemi finiti; v. Herstein,
Abstract Algebra, Es. 29 e 30 a pag. 48, e qui
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=184750&start=10 per un tentativo di soluzione del primo)