sto svolgendo il seguente esercizio:
Sia $∗:$ $ZZ_10$$× ZZ_10 → ZZ_10$ l’operazione definita da
$a ∗ b = a + b + 3.$
(1) Stabilire se l’operazione $∗$ è commutativa ed associativa.
(2) Determinare l’elemento neutro e stabilire se ($ZZ_10, ∗$) è un gruppo abeliano.
(3) Calcolare l’elemento $(3,5)^-2$
Ho svolto l'esercizio nella maniera che riporto qui:
(1) $a ∗ b = b ∗ a$
$a + b + 3 = b + a + 3 $
Ed è commutativa.
$(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)$
$a + b + c + 5 = a + b + c + 5$
Ed è associativa.
(2) $a ∗ e = ?$
$a + e + 3$
$e = a - a -3$
$e = -3$
L'elemento neutro è $-3$.
(3) $(3 ∗ 5)^-2$
$3 + 5 + 3 = 11$
$11 ≡ x (mod 10)$
Il resto della divisione tra 11 e 10 è 1, quindi $x = 1$
$1^-2 = 1$
A questo punto (sempre se sono riuscito a svolgere correttamente l'esercizio
) il mio dubbio è :Come faccio a stabilire se $(ZZ_10, ∗)$ è un gruppo abeliano (come richiesto nel punto 2?)
