{Cogruppi in gruppi} = {gruppi liberi}

[killing_buddha]

Un oggetto \(C\in\cal C\) è un cogruppo quando per ogni altro oggetto \(A\) l'insieme \(\hom(C,A)\) delle mappe \(f : C\to A\) è un gruppo, e data un'altra mappa \(u : A\to B\), la funzione \(\hom(C,A)\to \hom(C,B) : g \mapsto ug\) è un omomorfismo di gruppi.

Mostrate che se \(\cal C =\bf Grp\) (gruppi e loro omomorfismi), un oggetto è un cogruppo se e solo se è un gruppo libero (una implicazione è facile, il problema è l'altra).

[Gi.]

Nel testo dell'esercizio dovrebbe esserci un typo: $A$ non è un insieme ma un oggetto della categoria.
Per l'implicazione facile basta usare l'aggiunzione che dà un isomorfismo naturale del funtore rappresentato dal gruppo libero su $S$ generatori con quello che prende un gruppo $A$ e lo manda nell'insieme delle funzioni da $S$ a $A$ . Su questo insieme si mette l'ovvia struttura di gruppo e si conclude. Quella difficile non la so fare..

[killing_buddha]

Eh sì, l'implicazione difficile è quella che non sai fare pensaci. Non conosco una dimostrazione concettuale, ma penso ne esista una, perché un risultato analogo resta vero per una generica teoria algebrica finitaria.

[vict85]

Sono un po' arrugginito con queste cose. Non mi è però chiaro che operazioni usi su \(\hom(C,A)\), insomma quelle mappe non sono componibili.

[killing_buddha]

Usi (la precomposizione con) la comoltiplicazione del cogruppo: se \(\nabla : C\to C\coprod C\) e' tale comoltiplicazione, allora
\[\textstyle
\hom(\nabla,A) : \hom(C\coprod C,A)\cong\hom(C,A)\times\hom(C,A)\to \hom(C,A)
\] e' una operazione di gruppo. Il trucco per ottenere la comoltiplicazione e' il solito di Yoneda: se ciascun \(\hom(C,-)\) e' un gruppo, significa che hai dato una trasformazione naturale
\[
\xi : \hom(C,-)\times\hom(C,-)\to \hom(C,-)
\] Ora il dominio e' isomorfo a \(\hom(C\amalg C,-)\), e il lemma di Yoneda ti dice che il morfismo \(\xi(1_{C\amalg C}) \in\hom(C,C\amalg C)\) e' una comoltiplicazione coassociativa su $C$.