Due domande: Caratteristica di un dominio di integrità / Consiglio su Sylow.

[Gary_Baldi]

Salve, nel mio ripassino di algebra ho incontrato due piccoli dubbi.
1) Esercizio: verificare che se la caratteristica di un dominio di integrità è p, allora p è primo.
Avevo già risolto l'esercizio durante la prima fase di studio, forse basandomi su cose sentite a lezione o forse da me non capite bene, come segue:
[ supponiamo per assurdo $p=xy$, ovviam fattori non banali. Per definizione $charD=p=min{ninZZ,n>0, t.c. AAainD, na=0}$ quindi $p=(xy)a=0$. Poichè sono in un dominio di integrità, non posso avere divisori di zero, perciò per forza avrò $xa=0$ v $ya=0$, assurdo per la minimalità di p]

Ripensandoci oggi mi sembra imprecisa (o di più, errata come dimostrazione) perchè è vero che sono in un dominio di integrità, ma non ho un prodotto $(xa)(ya)=0$ e in più l'operazione $pa=(xy)a$ non è la moltiplicazione di $D$ ma un'operazione $NNxxD->D$
Bisogna quindi dire (ci provo): $pa=xay=0 rArr x(ay)=(xa)y=0 rArr ay=0 vv xa=0$, falsa per la minimalità di $p$ che rende false sia $xa=0$ che $ya=0$. Può andare?

2) Devo studiare i teoremi di Sylow, ho provato a studiare il primo teorema di Sylow (solo l'enunciato e le tre dimostrazioni che propone il libro di Herstein). Non mi sembrano molto chiare, pur avendo studiato bene tutta la teoria precedente e fatto quasi tutti gli esercizi.
Capisco esattamente cosa sta facendo, ad es. quando usa il calcolo combinatorio e quando il teorema di Cayley o i laterali doppi.. mi sembra proprio contorta l'impalcatura della dimostrazione, che mi rende difficile averla ben chiara in testa dall'inizio alla fine, al di là di aver capito ogni singolo passaggio. A una prima lettura, ho chiari i singoli passaggi, salvo un paio di dubbi, e l'idea generale di fondo.
Conscio che sia molto soggettivo, mi conviene dedicare un paio di giorni a capire pazientemente e memorizzare le dimostrazioni proposte da Herstein, oppure prendo un altro libro?

[Martino]

1. E' molto più semplice: se fosse $p=xy$ allora siccome $p=0$ e sei in un dominio di integrità, uno tra $x$ e $y$ è zero, e questo contraddice la minimalità di $p$.

2. Il libro di Herstein non è l'ideale per studiare la teoria la prima volta, ti consiglio di usare il libro di Nathan Jacobson (Basic Algebra 1). Dai anche un'occhiata qui, dove ero intervenuto anche io.

[Gary_Baldi]

1. Non ho capito, dicendo $p=0$, intendi che, in particolare, per $a=1, pa=0$, cioè $p1=p=xy=0$ e, poiché $ZZ$ è un dominio d'integrità, devo avere $x=0 vv y=0$. E quindi ...? non capisco.
(Ps, faccio notare che, dopo la def. di $charD$, nel mio precedente intervento, ho scritto erroneamente $p=...=0$ invece che $pa=..=0$)
2. Lo sospettavo. Grazie per la dritta.

[Martino]

devo avere $x=0 vv y=0$. E quindi ...? non capisco.

E quindi $p$ non è il minimo intero con la proprietà che $p=0$ (perché $x$ e $y$ sono minori di $p$), contraddizione

[Martino]

Guarda te lo scrivo in modo più formale.

Dato $A$ un anello (con unità) e $n$ un intero positivo, se $a in A$ definiamo $an$ come la somma di $a+a+...+a$ dove ci sono $n$ addendi. Possiamo definire $an$ quando $n$ è negativo come $-((-a)+(-a)+...+(-a))$ dove ci sono $-n$ addendi, e $a0=0$. Quindi abbiamo definito $an$ per ogni $n$ intero. In particolare $1n=1+1+...+1$ ($n$ addendi).

Osservazione. Se $n$ è un intero sono equivalenti:
(1) $1n=0$
(2) $an=0$ per ogni $a in A$.
E' ovvio che (2) implica (1) (basta scegliere $a=1$), ora se vale (1) allora supponi $n$ positivo, se $a in A$ allora $an = a+a+...+a = (1+1+...+1)a=(1n)a=0a=0$, se invece $n$ è negativo allora $an = -((-a)+(-a)+...+(-a)) =-((-1)+(-1)+...+(-1))a=(1+1+...+1)a=(1n)a=0a=0$.

Quindi la caratteristica di un anello unitario $A$ è il minimo $n$ tale che $1n=0$ (dove $1n=1+1+...+1$, dove gli $n$ addendi a destra sono l'unità dell'anello $A$).

Ora se $n$ è un prodotto $xy$ allora $1n=0$ si può scrivere come $1xy=0$ cioè $(1x)(1y)=0$. Se $A$ è un dominio questo implica che uno tra $1x$ e $1y$ è zero. Siccome $x$ e $y$ sono minori di $n$, se $n$ è il minimo intero positivo tale che $1n=0$ allora deve essere primo.

[Gary_Baldi]

Ah ok, ora ho capito. Forse il modo più rigoroso per dirlo è:
$p1=0 rArr (xy)1=0 rArr (x1)(y1)=0 rArr x1=0vvy1=0$, assurde entrambe le possibilità per la minimalità di $p$.
Anche se comunque non riesco a capire fino in fondo l'uguaglianza $ (xy)1=(x1)(y1) $
La cosa che mi perplime è che, è che $x$ è un elemento di $ZZ$ mentre $x1$ è un elemento di $D$ cioè del dominio di integrità generico che sto considerando. Quindi non posso scrivere $x=x1$. e ci vuole qualche premessa prima di dire $(xy)1=(x1)(y1)$... tipo? xD

[Martino]

E' semplicemente la proprietà distributiva.

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1,j=1}^{i=n,j=m} a_ib_j \)

Applicalo a $a_i=b_j=1$ per ogni $i,j$. Osserva che in questo caso $a_ib_j = 1*1 = 1$.

[Gary_Baldi]

E' semplicemente la proprietà distributiva.

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1,j=1}^{i=n,j=m} a_ib_j \)

Applicalo a $a_i=b_j=1$ per ogni $i,j$. Osserva che in questo caso $a_ib_j = 1*1 = 1$.

Ah ok, è vero. Ho risolto il mio dubbio. Grazie.

[killing_buddha]

Dato un anello commutativo $R$, esiste un unico omomorfismo di anelli \(\eta : \mathbb Z \to R\): ne esiste uno che manda $1_{ZZ}$ in $1_R$, e il fatto che sia un omomorfismo implica che manda $n$ in $1_R+...+1_R$. Se ne esiste un altro, anche lui manda $1_ZZ$ in $1_R$, e allora coincide con $\eta$.

La caratteristica di $R$ è il (generatore del) nucleo di $\eta$: ora, se $R$ è integro, $(0)$ è un ideale primo in $R$, quindi \(\eta^\leftarrow(0)\) deve essere un ideale primo in $ZZ$. Quindi, deve essere generato da un elemento $p$, che è primo.