Difficoltà con la comprensione del concetto di famiglia e...

[OperatoreNabla]

...di prodotto cartesiano.
Se ho ben capito, una famiglia è una tripletta $ (S,I,x) $ dove $ S,I $ sono insiemi e $ x: I \rightarrow S $un'applicazione.
Leggo anche che $ I $ è un insieme di indici, questo vuol dire che è un tipo particolare di insieme o è solo il nome che gli viene dato?

Per quanto riguarda il prodotto cartesiano, ho letto che bisogna considerare degli insiemi $ X_i | i \in I $ ovvero degli insiemi parametrizzati da un insieme di indici $ I $. Detto questo, sia $ U = uuu_{i \in I} X_i$ l'unione di tutti gli insiemi $ X_i $, il prodotto cartesiano di questi insiemi è dato dalle applicazioni $ \{f : I \rightarrow U | f (i) \in X_i \forall i \} $.
Non riesco però a capire il significato di questa definizione, mi sapreste, magari, fornire un esempio per iniziare a intuire il concetto?
Inoltre il testo che seguo afferma che se anche uno solo degli $ X_i $ è vuoto, anche il prodotto cartesiano è vuoto, e neanche guardando alla definizione riesco a capire il perché di ciò

[luca69]

Azzardo una risposta al primo quesito, da semplice "utente occasionale di indici": $I$ deve essere numerabile (o finito)

[Martino]

Leggo anche che $ I $ è un insieme di indici,questo vuol dire che è un tipo particolare di insieme o è solo il nome che gli viene dato?

E' solo il nome che gli viene dato.

Non riesco però a capire il significato di questa definizione, mi sapreste, magari, fornire un esempio per iniziare a intuire il concetto?

Pensa al caso $I={1,2}$. In questo caso hai un prodotto $X_1 xx X_2$ e un suo elemento è una funzione $f:{1,2} to X_1 uu X_2$ con la proprietà che $f(1) in X_1$ e $f(2) in X_2$. Normalmente tale funzione $f$ viene indicata tramite la sequenza dei suoi valori, cioè $(f(1),f(2))$ (che riconoscerai essere una cosiddetta "coppia ordinata").

Inoltre il testo che seguo afferma che se anche uno solo degli $ X_i $ è vuoto, anche il prodotto cartesiano è vuoto, e neanche guardando alla definizione riesco a capire il perché di ciò

Fissato un indice $i$ e un elemento $f$ nel prodotto cartesiano, la condizione $f(i) in X_i$ è impossibile se $X_i$ è vuoto. Quindi $f$ non esiste e il prodotto cartesiano è vuoto.

[luca69]

Leggo anche che $ I $ è un insieme di indici,questo vuol dire che è un tipo particolare di insieme o è solo il nome che gli viene dato?

E' solo il nome che gli viene dato.

Ah già, infatti si può parlare, ad esempio, di "unione non numerabile di insiemi, $uuu_{i in I} X_i$..."

[killing_buddha]

$I$ può essere un insieme qualsiasi, non deve essere numerabile; se lo è tanto meglio, ma la definizione funziona in qualsiasi caso.

La ragione per cui quando un insieme di una famiglia è vuoto, il prodotto di quella famiglia è vuoto è il semplice fatto che

1. \(\prod_{i\in I}A_i \cong A_k \times \prod_{i\neq k} A_i\)
2. Per ogni insieme $S$, si ha \(\varnothing\times S \cong \varnothing\); questo perché la cardinalità di $X\times Y$ è il prodotto delle cardinalità di $X$ e di $Y$, \(|\varnothing|=0\).

Da ciò segue che se esiste un indice $k$ tale che \(A_k=\varnothing\), allora \(\prod_{i\in I}A_i \cong A_k \times \prod_{i\neq k} A_i = \varnothing\times \prod_{i\neq k} A_i = \varnothing\).