Normalità

[Cantor99]

Sicuramente sarà un dubbio stupido, ma vorrei far chiarezza. Il mio testo liquida come ovvia la seguente considerazione
"Sia $G$ un gruppo. Un sottogruppo $H$ di $G$ è normale se e solo se $xH=Hx$ qualunque sia $x in G$"

$H$ normale in $G$ $<=>$ le relazioni $R'_H$ e $R_H^('')$ coincidono $<=>$ per ogni $x,y in G$ esistono $h,h' in H$ tali che $x^-1y=h' $ e $xy^-1=h$ $<=>$ $y=xh'$ e $y=h^-1x$ $<=>$ $xH=Hx$ per ogni $x in G$ (per la doppia inclusione)

Può andare? Avreste una dimostrazione più immediata?

[Indrjo Dedej]

Scusami, non capisco cosa tu voglia fare.
Questa è una definizione:

Sia $G$ un gruppo. Un sottogruppo $H$ di $G$ è normale se e solo se $xH=Hx$ qualunque sia $x \in G$.

Forse il se e solo se ti ha fatto pensare che potesse essere un teorema? Guarda che non c'è nulla di male, eh, in una definizione con qualche se e solo se.

Però capisco ora che tu per normalità usi un'altra definizione e con quella stai cercando di dimostrare l'asserto che proponi. Giusto?

[Cantor99]

Per me un sottogruppo $H$ di $G$ è normale (come ho scritto al secondo passaggio) se la relazioni $R'_(H)$ e $(R^(''))_(H)$ coincidono.
(Forse è meglio precisarlo, se $x,y in G$
$xR'_(H)y <=> x^-1y in H$
$x(R^(''))_Hy <=> xy^-1 in H$)

In pratica dopo aver dato questa definizione, mi fa quell'osservazione

[luca69]

Ciao,

occhio che se $R'_H$ è definita con $x^{-1}y$, $R''_H$ non va definita $xy^{-1}$, ma con $yx^{-1}$ (si vedrà infatti che la commutatività nel gruppo è condizione sufficiente affinchè ogni sottogruppo sia normale). A questo punto, le classi di equivalenza sono:

$[x]'={y \in G|x^{-1}y \in H}={y \in G|x^{-1}y=h, h \in H}={y \in G|y =xh, h \in H}=xH$

$[x]''={y \in G|yx^{-1} \in H}={y \in G|yx^{-1}=h, h \in H}={y \in G|y =hx, h \in H}=Hx$

dove le ultime uguaglianze sono le definizioni di $xH$ e $Hx$. Quindi $[x]'=[x]'', AAx \Leftrightarrow xH=Hx, AAx$.

[luca69]

Rettifico, va bene anche la tua visto che i due elementi (il mio e il tuo) sono uno l'inverso dell'altro.

[Cantor99]

Giusto, quindi visto che le relazioni di equivalenza sono le medesime, le classi di un qualsiasi elemento secondo la prima e la seconda relazione e dunque $xH=Hx$.
Penso sia questa l'ovvietà a cui si riferiva il libro.

Grazie mille a entrambi