Interi p-adici

[robbis]

Ciao a tutti, sto studiando i numeri p-adici sul libro di Serre "A course in Arithmetic". La definizione da lui scelta per gli interi p-adici è quella di definire $\mathbb{Z}_p$ come limite proiettivo degli $A_n$, dove
$$A_n=\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$
Di conseguenza $x \in \mathbb{Z}_p$ è del tipo $x=(x_1, x_2, ...)$ con $x_i \in A_i$ e $x_n\equiv x_{n-1} mod p^{n-1}$.
Devo dimostrare che $x$ è invertibile se e solo se non è divisibile per $p$. Riporto il ragionamento adottato da Serre sperando che qualcuno mi aiuti a fare chiarezza su alcuni miei dubbi, perciò ringrazio in anticipo.

E' sufficiente dimostrare l'asserzione per $x \in A_n$. Supponiamo che non sia divisibile per $p$, allora la sua proiezione in $A_1$ (ovvero la riduzione mod p) non è nulla, perciò è invertibile. Allora esistono $y, z \in A_n$ tali che $xy=1-pz$, perciò
$$xy(1+pz+p^2z^2...+p^{n-1}z^{n-1})=1$$
dunque $x$ è invertibile.

Per quel che ho capito, se $x \in A_n$ non è divisibile per $p$, allora non lo è neanche per $p^n$ e di conseguenza è invertibile in $A_n$. Immagino dunque che $y$ sia il suo inverso, ma non mi è chiaro perchè $z \in A_n$. Infine non ho capito l'ultimo passaggio. e come posso generalizzare a $x \in \mathbb{Z}_p$? Mi è sufficiente prendere gli inversi di ogni $x_i$? sono certa che in questo modo l'inverso così costruito sia ancora un numero p-adico?

Perdonate ma sono un po' arrugginita, ringrazio fin da ora chiunque avesse voglia di usare un po' di tempo per darmi delucidazioni!

[robbis]

L'ultimo passaggio potrebbe dipendere dal fatto che
$$1-p^nz^n=(1-pz)(1+pz+p^2z^2+...+p^{n-1}z^{n-1})$$?

[Martino]

Ciao, nell'anello $A_n=ZZ//p^nZZ$ un elemento $a+p^nZZ$ è invertibile se e solo se l'intero $a$ non è divisibile per $p$. Questo è un fatto relativamente facile, è una conseguenza diretta dell'identità di Bezout (algoritmo di Euclide). Più in generale un elemento di $ZZ//mZZ$ è invertibile se e solo se è coprimo con $m$.

Una volta stabilito questo costruisci l'inverso $y$ di $x in ZZ_p$ definendo $y_n=x_n^{-1}$. Questo definisce un $p$-adico perché le mappe compatibili $f_n:A_{n+1} to A_n$ sono omomorfismi di anelli quindi verificano \( \displaystyle f_n({x_{n+1}}^{-1})=f_n(x_{n+1})^{-1}={x_n}^{-1} \) .

[robbis]

tutto chiaro, chissà perchè mi bloccavo su cose basi grazie mille!