Dimostrazione uguaglianza polinomi

Messaggioda squeeze » 28/04/2018, 10:09

Ciao ragazzi, ho bisogno di voi!

Sia da dimostrare:

$t(t-1)^mt(t-1)^n = t(t-1)^(m+n+1) + t(t-1)^(m+n)$ presi comunque $m, n in ZZ$


ora, si arriva banalmente all'identità:

$t^2(t-1)^(m+n) = t^2(t-1)^(m+n)$


volendo però procedere diversamente (sono nel capitolo riguardante le costanti di connessione tra polinomi):

$t(t-1)^mt(t-1)^n = t(t-1)^(m+n)(t - 1 + 1)$


si vede che per $m + n > 0$ entrambi sono polinomi monici, sono quindi identificati univocamente dalle loro radici, in particolare sempre per $m + n > 0$ le radici di entrambi i polinomi sono $0$ con molteplicità $2$ e $1$ con molteplicità $m+n$, questo vuol dire che sicuramente per $m + n > 0$ si tratta dello stesso polinomio; mi chiedo se sia sufficiente per dire che valga per ogni $m, n in ZZ$.

Grazie! :-D
squeeze
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Re: Dimostrazione uguaglianza polinomi

Messaggioda killing_buddha » 03/05/2018, 15:34

Su che campo vale questa uguaglianza? Su un campo infinito (per esempio uno algebricamente chiuso) non c'è differenza tra funzioni polinomiali e polinomi.

L'identità che trovi raccogliendo il fattore $t(t-1)^{m+n}$ vale nel campo delle funzioni razionali $K(t)$, e su questo campo (posto che abbia senso, cioè devi evitare di dividere per 0 in $K$) le funzioni razionali si scrivono in modo unico.
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Re: Dimostrazione uguaglianza polinomi

Messaggioda killing_buddha » 05/05/2018, 11:57

Siccome ci ho pensato un po', registro qui una espansione della risposta precedente; potrebbe essere utile a chi cerca per altri motivi questo remark.

Su un campo finito, i polinomi sono strettamente più delle funzioni polinomiali, ossia di quelle funzione \(k\to k\) che si scrivono come \(\alpha \mapsto \sum a_i \alpha^i\) per certi coefficienti \(a_i\) quasi tutti nulli. Il motivo è che l'insieme \(k[T]\) dei polinomi a valori in \(k\) deve contenere l'insieme infinito \(\{T^i\mid i\ge 0\}\), e deve quindi essere almeno numerabile, laddove invece l'insieme \([k,k]_p\) delle funzioni polinomiali, come sottoinsieme dell'insieme delle generiche funzioni \(k\to k\), deve avere cardinalità \(|k|^{|k|} <\omega\). La funzione \(\mathcal E : k[T]\to [k,k]_p\) che manda un polinomio in sé stesso, riguardato come funzione polinomiale, non può quindi essere iniettiva. (E' un esercizio formativo trovare un esempio di polinomi che definiscono la stessa funzione polinomiale se, per esempio, \(k=\mathbb F_q\) è il campo finito con \(q\) elementi).

Se ora però \(k\) è un campo infinito, i due insiemi hanno la stessa cardinalità, e in effetti è facile dimostrare che proprio \(\mathcal E\) esibisce una biiezione tra loro.

Notate che una cosa del tutto simile accade quando si considerano funzioni polinomiali multivariate: la funzione \(\mathcal E : k[T_1,...,T_n]\to [k^n,k]_p\) non è biiettiva quando \(k\) è finito, per la stessa ragione che \(|k|^{|k|^n}<\omega\) :) magie dei cardinali inaccessibili. Invece, se \(k\) è infinito, due funzioni polinomiali devono venire dallo stesso polinomio (si ragiona per induzione sul numero delle variabili; in effetti il fatto che \(k\) sia un campo non è rilevante, basta che sia un anello infinito).

Ora, questo stesso ragionamento si estende al caso di funzioni razionali: a patto di stipulare che una funzione \(k\to k\) è "regolare" quando si può scrivere come rapporto irriducibile \(\frac{p(T)}{q(T)}\) di polinomi, ed è definita sul complementare dell'insieme degli zeri del denominatore, si trova una biiezione tra il campo dei quozienti di \(k[T]\) e l'insieme delle funzioni regolari.

La ragione è che il problema attuale si può facilmente ridurre al precedente, tenendo conto che \(\frac{f}{g}=\frac{u}{v}\) se e solo se \(fv=gu\) come polinomi. (Altrettanto ovvio è come generalizzare al caso multivariato: fate entrambe le cose per esercizio!).
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Re: Dimostrazione uguaglianza polinomi

Messaggioda killing_buddha » 06/05/2018, 11:20

(PS: è vero per le serie formali? E per le serie di Laurent?) :-)
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Re: Dimostrazione uguaglianza polinomi

Messaggioda anto_zoolander » 08/05/2018, 01:17

in $ZZ_3$ i polinomi $x^3+x^2-x$ e $x^2$ definiscono la stessa funzione polinomiale visto che $x^3-x=x(x-1)(x+1)=[0],forall x in ZZ_3$

è chiaro che se $k$ è infinito se per assurdo date $f,g$ funzioni polinomiali tali che $f(a)=g(a),foralla in k$ non definissero lo stesso polinomio allora il polinomio $h(x)=f(x)-g(x)$ se non nullo avrebbe sicuramente più radici del suo grado.

Chiaramente molte cose che hai scritto per me non sono 'ovvie'
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Re: Dimostrazione uguaglianza polinomi

Messaggioda squeeze » 08/05/2018, 14:48

Grazie per le risposte, molto interessanti. Avevo comunque proceduto a seguire la strada delle radici e ho buttato lì due considerazioni:

Come detto nel post iniziale un polinomio monico è univocamente identificato dalle proprie radici dal momento che si può sempre scrivere $p(x) = \prod_{j=1}^n (x - s_j)$.

Elenchiamo quindi i possibili casi:

    - $m + n > 0$, allora le radici di entrambi i polinomi sono $0$ con molteplicità $2$ e $1$ con molteplicità $m + n$

    - $m + n = 0$, allora la radice di entrambi i polinomi è $0$ con molteplicità $2$

    - $m + n < 0$, allora notiamo che possiamo scrivere l'equazione come $(dot p(x))/(dot q(x)) = (ddot p(x))/(ddot p(x))$ dove tutti e quattro sono polinomi monici; la radice dei polinomi $dot p(x)$ e $ddot p(x)$ è dunque $0$ con molteplicità $2$ mentre la radice dei polinomi $dot q(x)$ e $ddot q(x)$ è $1$ con molteplicità $m + n$, identificano quindi lo stesso rapporto (si noti che stiamo confrontando i singoli polinomi non l'intero rapporto per il quale non avrebbe senso altrimenti parlare delle radici del suo denominatore)

Che ne pensate? Vi convince? Ho scritto qualche obbrobrio matematico? :-D
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