Numero algebrico per polinomio con gruppo di Galois

Messaggioda Veny » 02/05/2018, 09:53

Buongiorno,
è il mio primo messaggio in questo forum e mi auguro di non fare errori nel postare e rispettare le linee guida.

Mi servirebbe aiuto nella risoluzione di questo tipo di esercizio:
"Determinare un numero algebrico il cui polinomio su $\mathbb{Q}$ ha gruppo di Galois isomorfo a $\mathbb{C}_3 \times\mathbb{C}_9\times\mathbb{C}_27$"

Il professore in aula ha fornito un tipo di risoluzione ma dopo la parte iniziale non mi è più chiaro, tento di esporvi quanto ho capito.

Cerco il numero algebrico come elemento primitivo.

In $\mathbb{C}_3$ andrò a cercare il più piccolo numero primo $n\equiv1 (mod 3)$ quindi 7
In $\mathbb{C}_9$ andrò a cercare il più piccolo numero primo $n\equiv1 (mod 9)$ quindi 19
In $\mathbb{C}_3$ andrò a cercare il più piccolo numero primo $n\equiv1 (mod 27)$ quindi 109

Poi la risoluzione da lui proposta continuava con la generazione dell'elemento primitivo scritto tramite i periodi di Gauss (in qualche modo connessi con i numeri prima trovati, ossia 7,19,109).

So che non è molto come idea di risoluzione ma spero che qualcuno di voi più esperto di me possa chiarirmi lo svolgimento.

Grazie in anticipo :)
Veny
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