Zeri di polinomi a coefficienti p-adici

[robbis]

Sto cercando di dimostrare la seguente proprietà:

Siano $f^{(i)} \in \mathbb{Z}_p[X_1,..., X_m]$ polinomi omogenei a coefficienti interi p-adici. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
a) i polinomi hanno uno zero comune non banale in $(\mathbb{Q}_p)^m$;
b) i polinomi hanno uno zero primitivo comune in $(\mathbb{Z}_p)^m$, dove $x=(x_1,..., x_m) \in (\mathbb{Z}_p)^m$ si dice primitivo se almeno uno degli $x_i$ è invertibile, ovvero se gli $x_i$ non sono tutti divisibili per $p$.

In particolare, nella dimostrazione dell'implicazione a) $\implies$ b), si sceglie $h=min(v_p(x_1), ...v_p(x_m))$ e si definisce $y=p^{-h}x$. Mi è chiaro che ora $y \in (\mathbb{Z}_p)^m$ e che sia primitivo.
Come faccio a verificare che $y$ è ancora uno zero comune dei polinomi?

Se non ho capito male, un qualunque polinomio a coefficienti p-adici valutato in numeri p-adici da origine ad un numero p-adico. Dire che tale numero è uno zero significa che il risultato è un numero p-adico con tutte le componenti nulle, ovvero, se $f_n$ è l'n-esima componente del polinomio $f$ valutato in una sua radice, $f_n \equiv 0$ mod $p^n$, è corretto?

Per $v_p(x)$ si intende la valutazione $p-$adica di $x_i \in \mathbb{Z}_p$.
Grazie in anticipo!