campi algebricamente chiusi e finiti

[ficus2002]

Esistono campi finiti algebricamente chiusi?

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Sia $F$ un campo finito. Allora, per ogni $n\in N^+$, esiste un polinomio irriducibile di grado $n$ appartenente a $F[x]$.

Dunque, la risposta alla tua domanda e': no.

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Del resto si puo' vedere anche direttamente. I polinomi monici di grado $2$ in $F[x]$ sono $|F|^2$. Tuttavia i polinomi della forma $(x-a)(x-b)$, con $a,b\in F$, sono certamente meno di $|F|^2$, per la proprieta' commutativa. Dunque c'e' sempre in $F[x]$ un polinomio irriducibile di grado $2$.

[zorn]

splendida dimostrazione!