Estensioni di Galois

[pigrecoedition]

Qualcuno sa fornirmi una dimostrazione di questo teorema: Siano F e K due campi, con F estensione finita di K. Se F è una estensione di Galois di K allora F è estensione normale e separabile di K.

[otta96]

In base alle definizioni che sono state date a me una estensione di Galois è una estensione che sia finita (algebrica più in generale), normale e separabile, quindi non c'è niente da dimostrare.
Immagino tu usi una definizione diversa, se vuoi una mano dovresti dircela.

[killing_buddha]

Una definizione alternativa è questa, più intrinseca, e che si dimostra essere equivalente:

una estensione di campi $K\to F$ è di Galois se l'aggiunzione antitòna tra le estensioni intermedie $K\to E\to F$ e i sottogruppi $H$ del gruppo dei $K$-automorfismi di $F$ che manda $E$ nel gruppo degli automorfismi $\sigma$ tali che \(\sigma|_E=1_E\) è una biiezione con inversa la mappa che manda $H$ nel sottocampo di $F$ degli elementi fissati da ogni $\sigma\in H$.

Da qui devi dimostrare che l'estensione è normale e separabile; è questo che vuoi?

[pigrecoedition]

Siano F estensione di grado finito di K e G il gruppo di Galois di F su K. F è un 'estensione di galois di K se e solo se K è costituito da tutti e soli gli elementi di F che vengono fissati da un qualunque elemento di G.

[pigrecoedition]

In base alle definizioni che sono state date a me una estensione di Galois è una estensione che sia finita (algebrica più in generale), normale e separabile, quindi non c'è niente da dimostrare.
Immagino tu usi una definizione diversa, se vuoi una mano dovresti dircela.

Uso questo definizione: Siano F un'estensione di grado finito di K e G il gruppo di Galois di F su K. F è un'estensione di Galois di K se e solo se K è costituito da tutti e soli gli elementi di F fissati da tutti gli elementi di G.

[otta96]

Allora quella che fa al caso tuo è la proposizione 7.10 a pagina 127 di queste dispense: http://web.math.unifi.it/users/casolo/d ... 2_2015.pdf, le definizioni sono un po' diverse dalle tue, controllale e inoltre usa qualche teorema che ha dimostrato prima, forse li conosci già, sennò dagli un'occhiata.