siano $f(x),g(x) in K[x]$ due polinomi nell'indeterminata $x$
se $a in K$ è una radice di molteplicità $k_1,k_2$ allora $(f*g)(x)$ ha come radice $a in K$ con molteplicità $k_1+k_2$
se $a in K$ è una radice di molteplicità $k_1,k_2$ allora $(f*g)(x)$ ha come radice $a in K$ con molteplicità $k_1+k_2$
chiaramente $h(a)=f(a)*g(a)=0*0=0$ pertanto è una radice
sfruttando il fatto che $k_1,k_2$ siano le molteplicità di $alpha$ in, rispettivamente, $f,g$
$f(x)=(x-a)^(k_1)Q_1(x)$ e $g(x)=(x-a)^(k_2)Q_2(x)$
ovvero $h(x)=(x-a)^(k_1+k_2)Q_1(x)Q_2(x)$ pertanto ha almeno molteplicità $k_1+k_2$
supponiamo per assurdo che la molteplicità possa essere almeno $k_1+k_2+1$ allora
$h(x)=(x-a)^(k_1+k_2+1)Q(x)$ poichè $K[x]$ è un dominio di integrità si ottiene che, essendo $(x-a)^(k_1+k_2)$, diverso dal polinomio nullo deve essere
$(x-a)Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)$
ma $(x-a)$ è un polinomio irriducibile in quanto deve essere scritto come prodotto di due polinomi di cui almeno uno avente grado zero ed essendo non nullo, deve essere anche il polinomio di grado zero non nullo ovvero è un polinomio del tipo $(c,0,....)$ ovvero invertibile e quindi irriducibile, ma allora è primo.
essendo primo e dividendo il prodotto $Q_1(x)Q_2(x)$ deve dividere almeno uno dei due. Supponiamo che divida $Q_1(x)$ ottenendo che $Q_1(x)=(x-a)*R(x)$ da cui subito si ottiene che $f(x)=(x-a)^(k_1+1)R(x)$ che viola l'ipotesi che la radice abbia molteplicità $k_1$ in $f$
è corretto?