Polinomi e riducibilità

[anto_zoolander]

Ciao

Devo mostrare che ogni polinomio in $RR[x]$ di grado dispari ammetta almeno una radice in $RR$

Ho cominciato facendo due considerazioni, ponendo $partialP(x)=2n+1$ e supponiamolo monico

1. Visto come polinomio su $CC$ ha esattamente $2n+1$ radici, dunque

$P(x)=prod_(j=1)^(2n+1)(x-alpha_j)$

2. Un polinomio a coefficienti reali su $CC$ è tale per cui se $alpha$ è una radice allora $overline(alpha)$ è anch’essa una radice

$P(x)=prod_(j=1)^(2n+1)(x-alpha_j)(x-overline(alpha_j))$

Essendo in un campo $CC[x]$ è un dominio di integrità pertanto dovrà essere

$prod_(j=1)^(2n+1)(x-overline(alpha_j))=1$

E mo?

Supponendo per assurdo che non abbia alcuna radice in $RR$(avendo grado dispari) riuscirei a fattorizzare il polinomio in fattori di secondo grado in $RR[x]$ avendo grado pari, nonché un assurdo.

Però non è che mi piaccia tanto

[otta96]

Essendo in un campo $CC[x]$ è un dominio di integrità pertanto dovrà essere

$prod_(j=1)^(2n+1)(x-overline(alpha_j))=1$

Cosa?
Comunque se sai che se $P(\zeta)=0=>P(\bar{\zeta})=0$ hai un numero pari di radici non reali, quindi non possono essere tutte, cioè almeno una è reale.

[anto_zoolander]

Lasciamo perdere la prima parte che penso non serva a nulla.

Pensavo che se per assurdo non avesse alcuna radice reale si scomporrebbe in un polinomio di grado pari, come assurdo non basta?

In fondo $P(x)=prod_(j=1)^(t)(x^2-(alpha_j+overline(alpha_j))x+alpha_j*overline(alpha_j))$

Dove ci sono $2t$ fattori. Quindi deve avere almeno una radice reale altrimenti avrebbe grado pari.

[otta96]

Non avevo capito che intendevo questo, che in effetti va bene, ma secondo me è poco elegante...

[killing_buddha]

Un polinomio $p(x)$ è una funzione continua; \(\lim_{\pm\infty} p(x) = \pm\infty\) (perché ha grado dispari), sicché per il teorema degli zeri $p$ deve annullarsi almeno una volta.

[anto_zoolander]

Per una volta nella mia vita volevo non usare l’analisi, questa dimostrazione la sapevo

[anto_zoolander]

C'è stato un malinteso tra me ed il libro, creato dal libro
sul libro afferma che:

se $P(x) in CC[x]$ è tale per cui i coefficienti siano tutti reali, allora per ogni radice $z inCC$ segue che $overline(z)$ è anch'essa radice.

ponendoci più attenzione mi sono reso conto che il teorema vale se $z in CCsetminusRR$ è una radice allora $overline(z)$ è anch'essa una radice

significa che se un polinomio a coefficienti reali ha tutte radici complesse allora ha grado pari, in quanto

$P(x)=prod_(j=1)^(t)(x-z_j)(x-overline(z_j))$

pertanto sarà $partialP(x)=2t$
chiaramente per contronominale segue immediatamente la tesi di quello che volevo dimostrare

@otta
forse volevi condurmi a questo, sbaglio?

[otta96]

Non lo avevi già detto?

2. Un polinomio a coefficienti reali su $CC$ è tale per cui se $alpha$ è una radice allora $overline(alpha)$ è anch’essa una radice

$P(x)=prod_(j=1)^(2n+1)(x-alpha_j)(x-overline(alpha_j))$

[anto_zoolander]

si ma sottintendevo che fosse $alpha in CC$ generico, non in $CCsetminusRR$

è chiaro che se $alpha in RR$ sia una radice non ha nemmeno senso dire che $overline(alpha)$ sia anch'essa una radice perchè è ovvio e non ci da alcuna informazioni.
La cosa importante in questo caso è che per ogni soluzione 'immaginaria' la coniugata è ancora soluzione e quindi si hanno due quantità distinte che da vita a un polinomio di grado pari se ha tutte soluzioni immaginarie.

[otta96]

Comunque questo risultato spesso viene usato per dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra, quindi o decidi di usare altre dimostrazioni (che non sono algebriche) o ti tocca dimostrare questo fatto in un altro modo.