Per farlo suppongo che $K\le D_n$ sia normale in $D_n$ e che contenga una riflessione $S_\beta$ (rispetto alla retta che forma un angolo $\beta /2$ con l’asse delle ascisse) e mostro che $|K|\ge n+1$ e quindi $K=D_n$.
Si deve avere $S_{2\alpha + \beta}= R_{\alpha} * S_{\beta} * R_{-\alpha} \in K$ ($R_{\alpha}$ rotazione di angolo $\alpha$), cioè, posto $\alpha = 2\pi h/n$ e $\beta = 2\pi l/n$, $S_{4\pi(h-l)/n} \in K$. Dati $0\le h_1, h_2 < n$ interi si ha $4\pi(h_1-l)/n - 4\pi(h_2-l)/n \in 2\pi \mathbb{Z}$ sse
$2(h_1 -h_2) \in n\mathbb{Z}$ ovvero $h_1 = h_2$ essendo $-2n < 2(h_1-h_2)< 2n$ e n dispari (l’unico pari in $n\mathbb{Z}$ tra -2n e 2n è 0). Quindi tutte le n riflessioni di $D_n$ sono in K, più sicuramente l’identità da cui $|K|\ge n+1$.
Vorrei sapere se conoscete una soluzione più immediata, sempre che questa sia corretta (
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