formalismo polinomi

[otta96]

Vuoi delle dispense? Eccotele: http://web.math.unifi.it/users/casolo/d ... a1_17B.pdf, il capitolo 8 parla dei polinomi, comincia a pagina 185.
Comunque non è che ci sia molto altro rispetto a quanto hai già detto, per esempio si identifica un $a\inA$ con $(a,0,...,0,...)\inA[x]$ così da avere una copia di $A$ dentro a $A[x]$ e poi l'elemento $(0,1,0,...,0,...)$ lo chiamiamo $x$, ed il resto è storia.

[killing_buddha]

Eh, cosa vuoi sapere? Dopo la descrizione come funzioni quasi ovunque nulle cos'altro vuoi?

[anto_zoolander]

Come si arriva al porre un elemento dell’anello dei polinomi come scrittura ‘polinomiale’
Solo questo é il mio cruccio

Per il resto ti ringrazio di quel che mi hai mandato!

@otta: grazie mille!
Il problema è propio quella ‘stringa infinita’ che penso denoti solo una scrittura formale per elencare gli elementi della successione. Spero di non sbagliarmi!

[otta96]

Come si arriva al porre un elemento dell’anello dei polinomi come scrittura ‘polinomiale’?

Sostanzialmente con un paio di conti ti accorgi che l'anello dei polinomi è generato da $x$ e la copia di $A$ presente in $A[x]$ di cui ti avevo già parlato, e quindi ogni polinomio si può scrivere come sai.

[killing_buddha]

L'anello dei polinomi in una indeterminata, e coefficienti in un anello $A$, è l'$A$-algebra libera su un elemento. Questo significa tra le altre cose che

- Un omomorfismo di $A$-algebre $f : A[x]\to S$ è univocamente determinato dall'immagine di $x$, il che è solo un modo esplicito di affermare che
- esiste una biiezione tra l'insieme degli omomorfismi di $A$-algebre $A[x]\to S$ e l'insieme degli elementi di $S$.

Più esplicitamente,

- la $A$-algebra libera sul generatore $x$ si scrive come l'insieme degli elementi $a_0 + a_1x+a_2 x^2+...+a_n x^n$ al variare di $n\in NN$ e degli elementi $a_0,...,a_n\in A$.

Se vuoi chiudere il cerchio, mostra che l'ultimo insieme che ti ho definito ha le proprietà scritte prima.

[anto_zoolander]

Perfetto domani metto insieme tutto e faccio le cose per benino.
Vi ringrazio della pazienza

[gugo82]

Chiama $c_(00)(mathbb{K})$ l’insieme delle successioni definitivamente nulle sul campo $mathbb{K}$.

Se doti tale insieme delle usuali operazioni di somma e prodotto di Cauchy ottieni un anello unitario commutativo.
Chiama $X:=(0,1,0,0,...)$ e verifica che $X^2= X*X=(0,0,1,0,...)$, $X^3 =X^2*X=(0,0,0,1,0,...)$ e più in generale che $X^n=(delta_k^(n+1))$.
Quindi i vettori di base di $c_(00)$ li puoi esprimere come potenze di $X$.

[anto_zoolander]

@gugo
Sei sempre illuminante grazie mille!

La scrittura $(0,1,0,...)$ indica formalmente soltanto l’andamento della successione e la delta mi sembra essere quella di Kronecker. Giusto?

[Indrjo Dedej]

Se non l'hai visto,
viewtopic.php?t=125334
Ultimo post.

[gugo82]

@gugo
Sei sempre illuminante grazie mille!

Prego.
Il più delle volte bastano poche parole dette bene.

La scrittura $(0,1,0,...)$ indica formalmente soltanto l’andamento della successione e la delta mi sembra essere quella di Kronecker. Giusto?

Certo.
Se vuoi, $X:=(delta_k^1)$ (con $delta$ di Kronecher) e prova che $X^n*X^m=X^(n+m)$.

Se non l'hai visto,
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Ultimo post.

Che è mio...