Sul group ring di alcuni gruppi

[killing_buddha]

L'anello associato ad un gruppo \(G\) consta del gruppo abeliano libero su(ll'insieme sottostante a \(G\)), denotato con \(\mathbb Z\lceil G \rfloor\) e dotato dell'operazione di anello che prende due funzioni a supporto finito \(f,g : G\to \mathbb Z\) e le manda nel loro prodotto
\[
x \mapsto \sum_{uv=x} f(u)g(v)
\] Utilizzando la scrittura di una tale funzione come somma formale \(\sum_{g\in G} a_gg \) per \(g\in G\) e certi \(a_g\in\mathbb Z\) quasi tutti nulli, l'operazione di prodotto è la convoluzione di Cauchy di funzioni \(G\to R\):
\[
\Big(\sum_{u\in G}a_uu\Big)\Big(\sum_{v\in G}b_vv\Big) = \sum_{g\in G}\Big(\sum_{uv=g} a_ub_v \Big) g
\]
1. Mostrate che per ogni anello \(S\) esiste una biiezione tra gli omomorfismi di anello \(\mathbb Z\lceil G\rfloor \to S\) e gli omomorfismi di gruppo \(G\to S^\times\) (il gruppo delle unità di \(S\)).

2. Mostrate che \(\mathbb Z\lceil C \rfloor\cong \mathbb Z[T,T^{-1}]\) è l'anello dei polinomi di Laurent in una variabile, se \(C\) è (l'unico a meno di isomorfismo) il gruppo ciclico infinito.

3. Mostrate che \(\mathbb Z\lceil C_n \rfloor\cong \mathbb Z[T]/(T^n-1)\) se \(C_n\) è il gruppo ciclico (l'unico) con \(n\) elementi.

4. Chi è \(\mathbb Z\lceil \mathfrak S_3 \rfloor\) è anche lui un quoziente di un anello di polinomi? (No, perché non è commutativo, mi hanno detto dalla regia; resta la domanda chi sia).

Alla luce di queste relazioni, mi sembra sia allettante congetturare quanto segue

a. Supponiamo che \(\{g_\alpha \mid \alpha\in A\}\) sia un insieme di generatori di \(G\) e \(\{w_\beta\mid \beta \in B\}\) sia un insieme di relazioni che soddisfano questi generatori (in modo che \(G\cong \langle \{g_\alpha : \alpha\in A\}\mid \{w_\beta : \beta \in B\}\rangle\) sia una presentazione di \(G\));

b. Consideriamo la mappa \(\Phi : G\to \mathbb Z[T_\alpha]\) verso l'anello dei polinomi in \(|A|\) variabili, che manda \(g_\alpha\) in \(T_\alpha\); allora
\[\mathbb Z\lceil G\rfloor \cong \mathbb Z[T_\alpha]/I,\] dove \(I\) è l'ideale generato da \(\{W_\beta -1\mid\beta\in B\}\), definito estendendo \(\Phi\) nel modo ovvio e ponendo \(W_\beta = \Phi(w_\beta)\) per ogni \(\beta \in B\).

Ovviamente non è esattamente vero: per $C$ nell'esempio 1. di sopra bisogna fare una localizzazione aggiuntiva (un omomorfismo di gruppi $\mathbb Z\to S^\times$ deve mandare il generatore di $ZZ$ in un invertibile di $S$, quindi il morfismo indotto $\mathbb Z[T]\to S$ deve mandare $T$ in un invertibile... etc, etc.). Del resto lo spirito della domanda mi sembra chiaro.

[Martino]

L'idea per $A = ZZ S_3$ è abbastanza intricata. Il radicale di Jacobson è nullo (clic). Scegliendo $x=(123)$ (un elemento di ordine $3$ in $S_3$) e $t=1-x$ allora $At$ è un ideale sinistro (ovviamente), e in realtà è ideale bilatero perché per qualsiasi $y in S_3$ abbiamo $ty in At$ essendo $<x>$ normale in $S_3$). Un semplice conto mostra che $At$ è un $ZZ$-modulo libero di rango $4$, una sua base è data dai quattro elementi $1-x^2$, $x-x^2$, $r-x^2r$, $xr-x^2r$ (dove $r=(12) in S_3$).

Ci sono altri due ideali bilateri ovvi di $A$, sono $A gamma$ e $A delta$, dove $gamma = sum_{g in S_3} g$ e $delta = sum_{g in S_3} sgn(g) g$. Bilateri perché $gamma y = gamma$ e $delta y = pm gamma$ per ogni $y in S_3$. La decomposizione di Wedderburn in questo caso è

$A = A gamma oplus A delta oplus A t$.

I primi due ($A gamma$ e $A delta$) hanno rango $1$ e corrispondono rispettivamente alla rappresentazione banale e la rappresentazione "segno" (le due rappresentazioni 1-dimensionali di $S_3$), il terzo ($At$) ha rango $4$ e corrisponde alla rappresentazione irriducibile complessa 2-dimensionale di $S_3$. L'augmentation ideal è $A delta oplus A t$. La parte difficile è capire la struttura di $At$, ho trovato due fonti, uno (fine di pagina 2) e due (pagina 3).

PS. La decomposizione nel caso di $CC[S_3]$ sarebbe molto più facile, è la decomposizione di Wedderburn standard.