MCD in anelli euclidei

[jinsang]

Salve, dubbio veloce:

Negli anelli euclidei il massimo comun divisore è unico a meno di associati?

[j18eos]

Risposta flash, per cui probabilmente errata: gli anelli euclidei sono domini di integrità a ideali principali (P.I.D.) [e questa affermazione è vera], quindi la risposta è sì [qui ho il dubbio]!

[anto_zoolander]

In un PID il mcd non è altro che l’elemento $d inD:(a,b)=(d)$ è chiaro che se $d~d’$ allora $(d)=(d’)$
Ed è chiaro che $d’$ soddisfa le proprietà del mcd in quando divide $d$ divide $a,b$ e anche $d’$ dall’associazione

[otta96]

Vale in generale negli U. F. D. questo fatto, solo che nei P. I. D. si ha un modo teorico per determinarlo, mentre nei domini euclidei c'è un modo effettivo per calcolarlo.

[jinsang]

D'accordo ho capito.

In un UFD invece, supponendo di avere la fattorizzazione in irriducibili di a,b, per determinare il loro MCD si fa come alle elementari in pratica giusto?
Cioè considero (per capirci)
{fattori di a, con molteplicità}
{fattori di b, con molteplicità}
fattorizzazione MCD(a,b)={fattori di a, con molteplicità}$nn${fattori di b, con molteplicità}

[jinsang]

Ah,dimenticavo:
Grazie a tutti per le risposte e i chiarimenti!