Un reticolo ha sempre minimo e massimo?

[steppox]

Salve ragazzi e mi scuso per la domanda imbarazzante. Ma un reticolo ha SEMPRE un minimo ed un massimo? Io direi di si perché ho provato a pensare ad un reticolo senza minimo ma non l'ho trovato. Cioé supponiamo di avere un reticolo senza minimo, allora mi basterebbe prendere due elementi non confrontabili di cui almeno uno minimale e non avrei l'inf e di conseguenza non sarebbe un reticolo. Peró potrei anche essere io incapace a fare un esempio di reticolo senza minimo... grazie

[otta96]

$RR$.

[steppox]

$RR$.

Grazie! Giuro che mi sento un imbecille in questo momento Non so perchè mi ero focalizzato su questi elementi non confrontabili senza pensare che l'insieme potesse essere totalmente ordinato.
Allora provo a riformulare la domanda in un modo (spero) più intelligente:
Un insieme ordinato (non totalmente) deve avere necessariamente min e max per poter essere un reticolo? Cioè se ci sono elementi non confrontabili e non ho min e max può comunque essere un reticolo? (e forse qui ha più senso il discorso che ho fatto in apertura)

[killing_buddha]

Un reticolo finito deve avere massimo e minimo, perché un reticolo, per definizione, ha tutti i meet e i join finiti; un esempio di reticolo infinito, non totalmente ordinato, che non ha massimo, è l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $NN$, ordinato per inclusione.

[otta96]

La risposta di killing_buddha andrebbe già bene, ma voglio farti un esempio in cui non esiste né il massimo né il minimo: prendi $ZZ$, e ci aggiungi un elemento che chiamiamo $0'$ e imponiamo che valgano $AAn>=1$ le relazioni $-n<=0'<=n$ e che $0$ e $0'$ siano incomparabili e $0^^0'=1$ e $0vv0'=-1$, così hai un reticolo non totalmente ordinato in cui non ci sono né minimo né massimo, in pratica hai "sdoppiato" lo $0$, mantenendo la maggior parte delle proprietà del reticolo.
Per completare il discordo di killing_buddha quello che vale più in generale è che un reticolo completo ammette massimo e minimo, e ovviamente i reticoli finiti sono per forza completi.

[killing_buddha]

E' la versione discreta della "retta con due origini", che si usa per dimostrare che non tutti i quozienti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff

[otta96]

Esatto, ahahah, io lo conoscevo più che altro come esempio che fa capire che è importante nella definizione di varietà mettere $T_2$, non basta che lo sia localmente (infatti se uno non chiede $T_2$ quella è una varietà), tra l'altro all'inizio stavo cercando di farlo con $RR$, ma poi mi sono accorto che non potevo definire il sup e l'inf, quindi non andava bene

[steppox]

Grazie mille!!! Esaustivi come sempre Grazie ancora e buona serata