Classi laterali di un gruppo

[Ov3rlord]

Buona sera,
sto preparando l'esame di algebra lineare. Risolvendo gli esercizi proposti dal prof mi sono purtroppo imbattuto in un argomento che non riesco proprio a comprendere: le classi laterali.
L'esercizio proposto è il seguente:

scrivere esplicitamente i laterali destri di $ H in G $ nei casi seguenti :
$ 1. $ $ G $ gruppo ciclico di ordine 10 generato da $ g, H = <g^2> $
$ 2. $ $ G $ gruppo ciclico di ordine 10 generato da $ g, H = <g^5> $

Ora, io so che un gruppo di ordine 10 ha come generatore un elemento di ordine 10, ma qui dice che il gruppo è generato da $ g^2 $, quindi mi è un po' difficile anche solo approcciare l'esercizio per cercare di risolverlo.
Qualcuno di voi saprebbe spiegarmi i laterali destri e sinistri, le differenze tra i due e come si trovano in QUALUNQUE gruppo come se fossi un bimbo di 5 anni?

Grazie in anticipo, mitici come sempre.

[otta96]

Lo sai che cosa sono le classi laterali (destre e sinistre) di un sottogruppo?

[Ov3rlord]

Ho perso molto tempo dietro a definizioni, esempi ma niente e nessuno è riuscito a farmelo capire.

[otta96]

Dato un gruppo $G$e un suo sottogruppo $H$, le classi laterali destre sono gli insiemi $H*a={h*a|h\inH}$, dove $a\inG$, che formano una partizione di $G$, quelle sinistre te lo puoi immaginare da solo cosa sono.
Nota che il sottogruppo stesso è una classe laterale, infatti $H=H*e$, comunque è sempre bene capire prima di tutto qual è il sottogruppo, nel primo caso si ha $H={e,g^2,g^4,g^6,g^8}$ (riesci a capire perché?) e le sue classi laterali sono lui stesso e ${g,g^3,g^5,g^7,g^9}$ (dimostralo!), nota anche che, dato che il gruppo è abeliano, non è necessario fare le distinzioni tra classi destre e sinistre, riesci ora per conto tuo a fare il secondo caso?

[Ov3rlord]

Quindi seguendo il tuo ragionamento: il secondo punto ha come sottogruppo quel sottogruppo formato da $ H = {e, g^5} $ essendo $ g^5 * g^5 = e $, quindi banalmente i suoi laterali destri saranno $ {g, g^6} $?

[otta96]

Quello è uno, ma non l'unico, infatti c'è un teorema che ti dice precisamente quanti laterali destri e sinistri ci sono in funzione degli ordini di $G$ e $H$, cioè $|G|/|H|$, quindi nel tuo caso $5$, quali sono gli altri, riesci a trovarli?

[Ov3rlord]

Il gruppo ha ordine 10, ma il sottogruppo è generato da un elemento di ordine 5. Per il teorema di lagrange se $ 10/5 = 2 $ dovrei avere due classi laterali?

[otta96]

L'elemento ha ordine $5$, ma il sottogruppo generato ha ordine $2$, quindi le classi sono $5$, di cui 2 le hai dette, te ne dico un'altra: ${g^2,g^7}$, riesci a dirmi quali mancano (ricorda che le classi formano una partizione del gruppo)?

[Ov3rlord]

Quindi mi stai dicendo che se moltiplico ad una classe laterale $ g $ ottengo un'altra classe laterale?
$ {g^3,g^8 }
{g^4,g^9}
{g^5, Id} $ ?

[otta96]

Si, perché se hai una classe laterale, diciamo $H*a$, e la moltiplichi per $b$ ottieni la classe laterale $H*(a*b)$ (è facile da verificare), ora tu in questo caso hai gruppi ciclici, e quindi ti basta moltiplicare ripetutamente per un generatore, ma in generale dovresti moltiplicare per tutti gli elementi del gruppo, proprio per definizione di classi laterali.
Comunque ti faccio notare che ${g^5,e}$ è il sottogruppo di partenza.