pre-Sylow

[luca69]

Vi chiedo cortesemente se il seguente ragionamento "pre-Sylow" è corretto o meno.

Sappiamo che ogni gruppo finito di ordine $n$ è isomorfo ad un sottogruppo di $Sym(n)$; quindi, un gruppo di ordine $n!$ ha sempre almeno un sottogruppo di ordine $n$.

[Martino]

Non capisco quel "quindi"

[luca69]

Sennò il claim <<un gruppo di ordine $n!$ ha sempre almeno un sottogruppo di ordine $n$>> è vero in base a cosa?

[Martino]

Ma non so nemmeno se è vero come sai che è vero?

[luca69]

Provo ad esplicitare il ragionamento per vedere dove eventualmente non funziona. Se un gruppo di ordine $n$ è isomorfo ad un sottogruppo di $Sym(n)$ (e lo è per Cayley), quest'ultimo avrà pure ordine $n$; quindi, $Sym(n)$, che ha ordine $n!$, ha sempre un sottogruppo di ordine $n$. Ma $Sym(n)$ non ha niente di speciale rispetto ad un qualsiasi gruppo di ordine $n!$, quindi ogni gruppo di ordine $n!$ ha un sottogruppo di ordine $n$.

[Martino]

Provo ad esplicitare il ragionamento per vedere dove eventualmente non funziona. Se un gruppo di ordine $n$ è isomorfo ad un sottogruppo di $Sym(n)$, quest'ultimo avrà pure ordine $n$; quindi, $Sym(n)$, che ha ordine $n!$, ha sempre un sottogruppo di ordine $n$.

Fin qua tutto ok.

Ma $Sym(n)$ non ha niente di speciale rispetto ad un qualsiasi gruppo di ordine $n!$, quindi ogni gruppo di ordine $n!$ ha un sottogruppo di ordine $n$.

Sei serio? cosa vorrebbe dire "non ha niente di speciale"? Esistono gruppi che hanno qualcosa di speciale?

Il gruppo diedrale lo consideri speciale?

Qual è la tua definizione di gruppo speciale?

[luca69]

Credo che avere ingenuamente pensato che fosse sempre possibile definire un isomorfismo tra gruppi dello stesso ordine, ad es. $n!$, per ogni valore di $n$; nel qual caso, avrei dedotto che l'isomorfismo mandava sottogruppi dell'uno in sottogruppi di pari ordine dell'altro.

[Martino]

Capisco. Però esistono gruppi non isomorfi dello stesso ordine. Per esempio il gruppo ciclico di ordine 6 e il gruppo simmetrico di grado 3.

Per rispondere alla tua interessante domanda si deve considerare un arbitrario gruppo $G$ di ordine $n!$ e cercarne un sottogruppo di ordine $n$. Intuitivamente penserei che questo non sia sempre possibile e proverei a cercare un controesempio.

[luca69]

grazie