Costruzione di biezione e classi di equivalenza

Salve, questo è il mio primo post sul forum perciò scusatemi se sono abbastanza ignorante per voi.
Allora ho due domande.

1)Se esiste, costruire una biezione fra gli insiemi $ \R $ e $ \R − {0} $.

2) Sia X = {1, 2, 3, 4}. Definiamo una relazione R su P(X) come segue: per due elementi A, B ∈ P(X) si ha che A R B quando #A ≡ #B (mod 3)
(a) Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
(b) Per ogni classe di equivalenza determinarne la cardinalità.

Se qualcuno mi può aiutare a farli e se mi possa dire perchè sono stati fatti in questo modo sarà perfetto.
Grazie in anticipo.

Il 2 è semplice... Cosa hai provato a fare?

Il 1 è un po’ più complicato. Comincia a lavorare sull’altro.

-Allora del secondo sono riuscito a trovarne il numero delle classi di equivalenze che è 3 come stiamo trattando di un mod 3, e le classe di equivalenza sono C0,C1,C2 ma non riesco ad procedere più di questo.
-Del primo non riesco nemmeno a mettere le mani.

Spero di non essere troppo esplicito visto l'intento del primo utente.

Metto sotto spoiler in caso volessi cimentarti senza aiuti

Per il primo esercizio

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

pensa semplice, se parti da R ed arrivi in R\{0} allora un ipotetico elemento che dovrebbe andare in 0 deve andare in x1 ma allora quello che deve andare in x1 deve andare in x2... insomma di mezzo ci deve essere una "traslazione" di infiniti punti (pensa ad una traslazione su un insieme infinito del tipo più semplice che conosci) e poi sistemi gli altri punti.

Se $R$ indica l'insieme $RR$ dei numeri reali, affinché esista una biiezione tra $RR$ ed $RR\setminus\{0\}$ è sufficiente trovare una funzione iniettiva \(f : \mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R\) e una funzione iniettiva \(g : \mathbb R \to \mathbb R\setminus \{0\}\). E' chiaro che $f$ esiste (l'inclusione), ma è altrettanto chiaro che $g$ esiste ($t\mapsto e^t$).

Grazie per le risposte,
@Settevoltesette so che è possibile fare la traslazione ma il problema se faccio la traslazione allora quando traslo -1 di uno allora diventa 0 che non esiste nel secondo insieme è questa la cosa che mi blocca.

@Killing_buddha Allora per avere una biezione dobbiamo avere una funzione inversa di F (G) e tuttedue devono essere iniettive ma questa ultima parte

E' chiaro che f esiste (l'inclusione), ma è altrettanto chiaro che g esiste (t↦et).

non è cosi chiara per me scusa se sono abbastanza ignorante.

P.S: Qualcuno mi può aiutare pure col punto b della seconda domanda? Perchè so determinare i numeri di classi di equivalenza ma la cardinalità che mi esce non è giusta.

il problema se faccio la traslazione allora quando traslo -1 di uno allora diventa 0 che non esiste nel secondo insieme è questa la cosa che mi blocca.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E allora non traslarlo -1

Allora per avere una biezione dobbiamo avere una funzione inversa di F (G)

Dove avrei detto che $f$ e $g$ sono una inversa dell'altra? Se esiste una funzione iniettiva $f : X\to Y$, e una funzione iniettiva $g : Y\to X$, ne esiste UNA TERZA biiettiva $X\to Y$.

I risultati potenti ci sono, usàteli.

Quello suggerito da k_b è l’approccio di chi fa soft mathematics da tanto tempo ed ha le mani lisce.

Chi, invece, fa hard mathematics direbbe che i risultati potenti vanno usati solo in casi di assoluta mancanza di idee su dove mettere le mani, callose e sporche, di chi lavora.

Una biiezione esiste, poiché i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Per trovarne una basta giocare un po’ con le mani.
Fissiamo una successione che approssima $0$, ad esempio quella di termine generale $1/n$ con $n in NN \setminus \{0\}$.
Posto:
\[
f(x):= \begin{cases}
x &\text{, se } x\neq 0, 1, 1/2, 1/3, \ldots , 1/n, \ldots\\
1 &\text{, se } x=0\\
1/2 &\text{, se } x=1\\
1/3 &\text{, se } x=1/2\\
\vdots & \\
1/(n+1) &\text{, se } x=1/n\\
\vdots
\end{cases}
\]
si vede che $f$ è biiettiva da $RR$ in $RR\setminus \{0\}$.

Chi, invece, fa hard mathematics direbbe che i risultati potenti vanno usati solo quando si vuole capire perché un risultato è vero, e non solo dimostrare che è vero.

FTFY.

Giusto per rinfrescarti la memoria e portarti un pizzico di luce in fondo alla miniera, nella dimostrazione che cito io la biiezione viene costruita (sebbene non sia costruttiva in senso tecnico, dato che c'è di mezzo una scelta), quindi ne trova una per $RR$ ed "$RR$ bucato" (diversa dalla tua, faticosamente ottenuta) e non paga di questo, ne trova una per due generici insiemi che soddisfino le stesse ipotesi. E quindi ti dice il motivo per cui il risultato vale.

Ora, se vogliamo paragonare una carriola senza una maniglia a uno shinkansen...