" Sia G un gruppo e sia N un sottogruppo normale di G. Se H è un sottogruppo di G contenente N, allora
H sottogruppo normale di G <==> H/N normale in G/N. Inoltre risulta: G/H isomorfo a (G/N)/(H/N)".
Dapprima dimostra che $H/N$ è normale in $G/N$, e questa parte della dimostrazione non mi crea problemi. Per dimostrare l'implicazione inversa, l'Autrice considera la composizione di due epimorfismi:
$ pi 1: Grarr G/N $ e $ pi 2: G/Nrarr (G/N)/(H/N $ dove $ pi 1 $ e $ pi 2 $ sono le proiezioni canoniche. La dimostrazione prosegue dicendo: "La composizione $ rho =pi 1@ pi 2 $ è un epimorfismo di nucleo H, quindi H è sottogruppo normale di G.". Ora, io ho qualche difficoltà a capire come la composizione dei due epimorfismi abbia nucleo H. Euristicamente ci arrivo, nel senso che la situazione è la seguente:
$ pi 1 @ pi 2:G rarr G/N rarr G/N/H/N $
equivale a:
$ rho : Grarr G/N/H/N $
ossia un elemento g di G viene spedito nel laterale $(H/N)Ng$ dove, "semplificando" N, si ottiene Hg e quindi il nucleo di rho è appunto H. Però mi piacerebbe capire la cosa non solo euristicamente.....
