Dimostrazione Divisibilità

[Giuseppe93]

Salve sono nuovo del forum e chiedo preventivamente scusa se sbaglio nello scrivere qualcosa:
Avrei un esercizio dove dice di Dimostrare che ∀ n ∈ ℕ si ha:
$ 3∣(4^(n+1)+8) $
Io ho provato a farlo per induzione
cioè provarlo per n=0 si ha :
$3|(4+8) =>3|12 $ perciò vero
Supponendo sia vero per n dobbiamo provarlo per n+1 perciò abbiamo
$3|(4^(n+2)+8)$

Quindi
$3|((4^(n+1))*4+8 => 3|(4^(n+2)+8)$ verificata

però secondo me non è il giusto procedimento....c'è qualcuno che può aiutarmi e mi dice se è giusto o meno?
secondo me potrei verificarla rifacendomi alla definizione di divisibilità....se è così come potrei risolvere

Grazie in anticipo

[otta96]

$3|((4^(n+1))*4+8 => 3|(4^(n+2)+8)$

Devi solo spiegare questo passaggio, che in effetti è vero, ma deve essere spiegato.

[Settevoltesette]

Devi avere un po' di dimestichezza con la cosa, quello che serve è sapere le divisioni con resto.
Detto così sembra banale la questione, però c'è una teoria semplice che inquadra e formalizza bene le divisioni con resto, rendendole più "veloci" e intuitive da usare, ti inserisco un link a wikipedia, https://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_modulare.


in merito alla tua dimostrazione, nell'ultimo passaggio non hai fatto un progresso, hai riscritto la stessa cosa 2 volte, ma ci vuole proprio una dimostrazione che manca.

[Giuseppe93]

Devi avere un po' di dimestichezza con la cosa, quello che serve è sapere le divisioni con resto.
Detto così sembra banale la questione, però c'è una teoria semplice che inquadra e formalizza bene le divisioni con resto, rendendole più "veloci" e intuitive da usare, ti inserisco un link a wikipedia, https://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_modulare.


in merito alla tua dimostrazione, nell'ultimo passaggio non hai fatto un progresso, hai riscritto la stessa cosa 2 volte, ma ci vuole proprio una dimostrazione che manca.

Va be in teoria questo esercizio è stato dato prima di studiare congruenze,

$ 3|((4^(n+1))*4+8 => 3|(4^(n+2)+8) $

Devi solo spiegare questo passaggio, che in effetti è vero, ma deve essere spiegato.

non è altro la nostra ipotesi induttiva $3|((4^(n+1)) +8$ aggiungendo l'elemento successivo perciò vien $(4^(n+1))*4+8$

volevo solo una conferma.... sicuri che non c'è altro modo rifacendoci alla definizione

data a|b esiste c tale che b=qa+r

[Settevoltesette]

devi dimostrare che quel fattore 4 in più non influisce sulla divisibilità (ovvero devi riportarti al caso precedente come vuole l'induzione), si, si fa proprio con le divisioni con resto, nel caso specifico 4 = 3 + 1 quindi x*4 = 3x + x ma 3x è divisibile per 3 ed allora x*4 è come se fosse x visto nelle divisioni per 3.

L'aritmetica modulare in soldoni è questo (non so poi questioni più avanzate, ma la base è questa)

[milos144]

Provo a dare un aiuto.
Per ipotesi abbiamo che $3∣(4^(n+1)+8) $
Trivial case: per $n=0$ si ha :
$3|(4+8)⇒3|12 $ ,vero.
Supponendo sia vero per $n$ proviamo adesso per $ n+1$:
$3∣(4^(n+2)+8)=3∣((4^(n+1))*4+8)=3∣(((4^(n+1))*1+8)+(
4^(n+1)*3))$
Quindi il primo termine $((4^(n+1))*1+8)$ é divisibile per $3$ per ipotesi induttiva
Il secondo $4^(n+1)*3)$ avendo come fattore $3$ é anch'esso divisibile per $3$