- Se \(R\) è un anello e \(\alpha : R\to R\) un suo automorfismo, definiamo l'anello dei polinomi non commutativi \(\alpha\)-twistati mediante la seguente proprietà universale: per ogni anello \(T\), ogni \(y\in T\) e ogni morfismo di anelli \(\phi : R\to T\), tali che \(y \phi(r) = \phi(\alpha(r))y\), esiste un'unica \(\bar\phi : R[x;\alpha]\to T\) che estende \(\phi\) e manda \(x\) in \(y\):
![\xymatrix{
{R[x;\alpha]} \ar[drr]^{\bar\phi} & & \\
R \ar[u] \ar[rr]_\phi & & T
}](/forum/latexrender/pictures/0faf942eaf1fed04c826e3be4fbb747e.png "\xymatrix{
{R[x;\alpha]} \ar[drr]^{\bar\phi} & & \\
R \ar[u] \ar[rr]_\phi & & T
}")
- Dimostrare che l'anello \(S\) costruito come segue soddisfa la stessa proprietà universale di \(R[x;\alpha]\) (ci è quindi isomorfo mediante un unico isomorfismo): come insieme, \(S\) raccoglie tutte le funzioni \(f : \mathbb N\to R\) tali che \(f(n)=0\) per tutti gli \(n\) tranne un numero finito; la somma \(f+g\) (identifichiamo gli elementi di \(S\) con le successioni \((a_n), (b_n)\)) è data dalla somma componente a componente in \(R\), e il prodotto \((a_n)(b_n)\) è dato dalla regola
\[ (ab)_k = \sum_{i+j=k}a_i\alpha^i(b_j) \] Sicché colloquialmente possiamo rappresentare gli elementi di \(S\) come somme formali \(\sum_k a_kx^k\), con l'accortezza di sapere che \(rx\neq xr\), ma bensì \(xr=\alpha(r)x\) per ogni \(r\in R\).
- Se \(R\) è l'anello dei polinomi \(k[y]\) a coefficienti in un campo \(k\), e \(q\in k^\times\) è uno scalare, è evidente che \(\alpha_q(y)=qy\) è un automorfismo. Dimostrare che \(\alpha\) è completamente determinato dall'azione su \(y\), ed esplicitarne l'azione sul generico polinomio \(p(y)\).
- Dimostrare che ogni elemento di \(k[y][x;\alpha_q]\) si scrive come una somma formale
\[ \sum_{i,j} \lambda_{ij}y^ix^y \] - Dimostrare che questo definisce un prodotto in \(k[y][x;\alpha_q]\) mediante la regola
\[ \left(\sum_{i,j} \lambda_{ij}y^ix^j\right)\left(\sum_{s,t} \mu_{st}y^sx^t\right) = \sum_k \sum_{\substack{i+s=\ell \\ j+t = m}} \lambda_{ij}\mu_{st}q^{js}y^\ell x^m \]
- Questo anello si chiama "piano quantistico di Manin" e viene denotato con \(\mathcal O_q(2,k)\). Dimostrare che esiste l'isomorfismo
\[ \mathcal O_q(2,k) \cong k\{X,Y\}/\langle XY-qYX\rangle \] dove \(k\{X,\}\) denota l'anello dei polinomi non commutativi in due variabili. - Dimostrare che esiste l'isomorfismo \(\mathcal O_q(2,k) \cong k[x][y;\beta]\) dove \(\beta = \alpha_1^{-1} : x\mapsto q^{-1}x\).
- Diciamo che \(\mathbf q\) è una matrice "\(\prod\)-antisimmetrica" se \(q_{ij} = q_{ji}^{-1}\); se \(\bf q\) è una tale matrice definiamo \(\mathcal O_{\bf q}(n,k)\) come l'anello
\[ \frac{k\{X_1,\dots, X_n\}}{\langle X_iX_j = q_{ij}X_jX_i\mid 1\le i,j\le n\rangle}\] - Dimostrare che \(\mathcal O_{\bf q}(n,k)\) è isomorfo a \(k[x_1][x_2;\alpha_2][x_3;\alpha_3]\dots [x_n;\alpha_n]\) per certi automorfismi di \(k[x_1][x_2;\alpha_2]\dots[x_{i-1};\alpha_{i-1}]\).
- Sia \(V = k^2\); definiamo una struttura di algebra di Lie su \(V\) ponendo \([e_1,e_2]=e_1\). Dimostrare che esiste un automorfismo \(\alpha\) di \(k[y]\) tale che \(\mathcal L \cong k[y][x;\alpha]\). Data una generica algebra di Lie \(\mathcal L\), è vero o no che esiste un anello di polinomi \(\alpha\)-twistati tale che \(R[x;\alpha]\cong \mathcal L\)?
Per i puri di cuore: l'anello $S$ del punto 2. è della forma \(k\{X_i\mid i\in I\}/\mathfrak R\)? Si può, cioè, sempre ottenere un anello sghembo come quoziente per un insieme \(\mathfrak R\) di relazioni, a partire da un anello di polinomi non commutativi?
