Sottogruppi di Sylow

[GBX1]

Uno dei teoremi di Sylow recita che, se G è un gruppo finito di ordine $ p^alpha \cdot m $ , dove p è un numero primo e m non è divisibile per p, allora il numero dei p-SSG (Sylow's subgroups) distinti è un divisore di m, ed è congruo ad 1 modulo p.
Ora accade abbastanza di frequente che, a fronte di certi p e di certi m, si ottengano numeri di possibili p-SSG diversi.
I teoremi di Sylow non forniscono indicazioni su come dirimere questa aporia.
Se il gruppo G non è troppo complicato, talvolta si riesce a capire quale sia il numero corretto dei p-SSG; ma si tratta di casi rari.
Esistono criteri o metodi generali da seguire in questi casi?
Grazie per l'attenzione e per l'eventuale risposta.

[otta96]

Per quanto ne so no, anche perché sennò la classificazione dei gruppi finiti semplici immagino sarebbe stata molto più facile, comunque aspetta la conferma di qualcuno che se ne intende di più per sicurezza.

[Martino]

No non esistono metodi generali. Avevi in mente un caso specifico? Se sì, quale?

[GBX1]

Il dubbio mi è venuto nel corso di Algebra 2, in cui la professoressa ha svolto alla lavagna il seguente esercizio.
Dato un gruppo G di ordine 98, trovare i sottogruppi di Sylow.
Svolgimento. $ 98 = 2\cdot 7^2 $ quindi essendo sia 2 sia 7 numeri primi, esistono sottogruppi di Sylow del tipo H7 e H2 (scusa ma non so come inserire i pedici). Il numero dei 7-Sylow H7 divide 2 ed è congruente ad 1 mod. 7 quindi è pari ad 1, e fin qui non ci sono problemi. L'ordine di H7 è 7^2 = 49 ed essendo unico, è pure sottogruppo normale di G. Poi, avendo per ordine il quadrato di un numero primo, è pure abeliano. E dato che in questo caso risulta G isomorfo a Z2 x H7, che sono entrambi abeliani, si conclude che anche G è abeliano. Quindi studiando i sottogruppi di Sylow di G abbiamo ricavato un'importante caratterizzazione di G stesso, che non era nei dati iniziali del problema.
Con i 2-Sylow la musica cambia. Il loro numero divide 49 ed è congruente ad 1 mod. 7 ==> ce ne possono essere 1, 7, 49.
Se il numero è 1 allora H2 è normale in G e G è isomorfo a H2 x H7 che è isomorfo a Z2 x H7.
Se il numero è 7 allora H2 è isomorfo al gruppo diedrale D7 (non ho capito perché e non ho potuto chiedere spiegazioni alla prof che stava volando in supersonico a Mach 2).
Se il numero è 49 allora H2 è isomorfo al gruppo diedrale D49 (again, same comment as above).
Tutti questi "se" vanno bene, ma è chiaro che sono mutuamente escludentisi, e non c'è modo di sapere quale sia quello, diciamo così, vero.
Può darsi che non sia riuscito a seguire perfettamente l'esempio proposto in classe, ma anche sul libro di testo (Piacentini-Cattaneo) c'è soltanto un esempio striminzito, che naturalmente non affronta la questione sollevata qui.
Tuttavia, al di là dell'esempio contingente, la mia domanda aveva carattere generale; purtroppo, vedo dalle risposte che non ci sono metodi generali per risolvere questo tipo di dilemma.
E già che ci sono, vorrei sollevare anche un altro tipo di problema, sempre legato ai p-Sylow. Mi sembra infatti, dagli esempi fatti a lezione, compreso quello qui riportato, che i sottogruppi di Sylow servano più a studiare il gruppo da cui derivano che non loro stessi. Al massimo si arriva a dire che uno di tali sottogruppi è isomorfo a qualche gruppo noto, mentre in generale non ci si chiede mai nemmeno da quali elementi essi siano composti. Probabilmente questi sottogruppi potranno servire per affrontare problemi più elevati, per chi vorrà proseguire lo studio dell'algebra oltre i confini dei corsi universitari. Certo, è un po' irritante e deludente studiare qualcosa senza manco poter sapere come è fatto...
Grazie per l'attenzione, e cordiali saluti.

[Martino]

Credo di aver capito che cerchi un modo per usare il teorema di Sylow per risolvere qualsiasi problema riguardante i gruppi finiti. Ti dico subito che non c'è speranza di fare questo. Il teorema di Sylow è potente ma non risolve tutti i problemi.

Un altro punto è che mi sembra che vuoi identificare il gruppo G solo conoscendo il suo ordine. Ti dico subito che questo non è possibile.

Prendiamo un esempio semplice: G ha ordine 6. Come è fatto G? G ha un solo 3-Sylow. Può avere uno oppure tre 2-Sylow. Se ne ha uno allora $G=C_6$ (gruppo ciclico di ordine 6). Se ne ha tre allora $G=S_3$ (gruppo simmetrico di grado 3). Quindi come vedi abbiamo trovato due gruppi ($C_6$ e $S_3$) e non un solo gruppo.

In generale conoscere l'ordine di G ti darà molte possibilità per G e non solo una.

[GBX1]

Credo di aver capito che cerchi un modo per usare il teorema di Sylow per risolvere qualsiasi problema riguardante i gruppi finiti. Ti dico subito che non c'è speranza di fare questo. Il teorema di Sylow è potente ma non risolve tutti i problemi.

Sono un po' stupito di questa affermazione. Nel mio post non ho affatto scritto quanto sopra; può darsi che non sia stato sufficientemente chiaro. Ho solo riportato un esempio fatto (non da me) a lezione, ed ho aggiunto alcune considerazioni finali. In realtà io vorrei capire:
1. Quanti sottogruppi di Sylow ci sono in un gruppo G avente ordine $ p^alpha \cdot m $ dove m non è multiplo di p, soprattutto quando il loro numero non è univoco; ossia, come ci si deve comportare in questi casi..

Anche per quanto riguarda la seconda affermazione non sono d'accordo. Io non ho alcun desiderio di "identificare il gruppo G solo conoscendo il suo ordine"; so benissimo, pur essendo un dilettante, che ciò non è possibile (magari lo fosse!). Probabilmente l'esempio che ho fornito è stato fuorviante, e se non lo mettevo era meglio.
Cordiali saluti.

[luca69]

Mi chiedevo se il Corollario sotto (ammesso e non concesso che lui e la Proposizione da cui discende siano corretti!) possa fornire una base per approfondire le motivazioni della risposta alla domanda posta dall'OP. A intuito direi di sì, ma al momento non saprei come...

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Proposizione. Sia $G$ un insieme finito in cui è definita una operazione binaria associativa tale che valgono le leggi di cancellazione sinistra e destra. Detto $X(G)$ l'insieme delle applicazioni di $G$ in se stesso, definiamo le mappe:
\begin{alignat*}{2}
\theta:G&\longrightarrow& X(G) \\
a&\longmapsto& \theta_a:G &\longrightarrow G \\
&&b&\longmapsto \theta_a(b):=ab
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{2}
\gamma:G&\longrightarrow& X(G) \\
a&\longmapsto& \gamma_a:G &\longrightarrow G \\
&&b&\longmapsto \gamma_a(b):=ba
\end{alignat*}
Allora le due proposizioni seguenti sono equivalenti:

i) $\theta_G \le Sym(G)$ e $\gamma_G \le Sym(G)$;

ii) $G$ è un gruppo.

Dimostrazione. Per la legge di cancellazione sinistra, $\theta_a(b)=\theta_a(c) \Rightarrow ab=ac \Rightarrow b=c$, ossia $\theta_a$ è iniettiva e quindi suriettiva; pertanto, $\theta_a \in Sym(G), \forall a \in G$, ovvero $\theta_G \subseteq Sym(G)$. Analogamente, per la legge di cancellazione destra, $\gamma_G \subseteq Sym(G)$. Inoltre, per la proprietà associativa, $\theta_{ab}(c)=(ab)c=a(bc)=a(\theta_b(c))=\theta_a(\theta_b(c))=$ $(\theta_a\theta_b)(c)$, da cui:
\begin{equation}
\theta_{ab}=\theta_a\theta_b, \forall a,b \in G
\label{eqn:action dx}
\end{equation}
Analogamente, $\gamma_{ab}(c)=c(ab)=(ca)b=\gamma_b(ca)=\gamma_b(\gamma_a(c))=(\gamma_b\gamma_a)(c)$, da cui:
\begin{equation}
\gamma_{ab}=\gamma_b\gamma_a, \forall a,b \in G
\label{eqn:action sx}
\end{equation}
Pertanto, $\theta_G$ e $\gamma_G$ sono sottoinsiemi di $Sym(G)$ chiusi rispetto alla composizione ivi definita, per cui è dimostrato il punto i).

Il punto ii) discende da i) notando che:
-) devono esistere $\bar a, \hat a \in G$ tali che $\theta_{\bar a}=\gamma_{\hat a}=\iota_G$, per cui $\theta_{\bar a}(b)=\bar a b=\iota_G(b)=b, \forall b \in G$, e $\bar a$ è unità sinistra, e $\gamma_{\hat a}(b)=b\hat a=\iota_G(b)=b, \forall b \in G$, e $\hat a$ è unità destra; ma $\bar a b=b, \forall b \in G \Rightarrow \bar a \hat a=\hat a$ e $b\hat a=b, \forall b \in G \Rightarrow \bar a\hat a=\bar a$, da cui $e:=\bar a=\hat a$ è unità;
-) poiché $\forall a \in G$ si ha che $\theta_a,\gamma_a \in Sym(G)$, allora $\exists! \bar a, \hat a \in G$ tali che $e=\theta_a(\bar a)=\gamma_a(\hat a)$, ovvero $a\bar a=\hat aa=e$; se $\bar aa \ne a\bar a$, allora $\bar aa \ne e$, da cui $a(\bar aa) \ne ae=a$ e quindi $(a\bar a)a=ea=a \ne a$: contraddizione; allora $a\bar a=\bar aa=\hat aa$, da cui $a^{-1}:=\bar a=\hat a$ è inverso di $a$.

Infine, se $G$ è un gruppo, allora valgono le ipotesi della Proposizione, da cui i). #

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Corollario. Sia $H \subseteq G$. Allora $H \le G$ se e solo se $\theta_H \le Sym(H)$ e $\gamma_H \le Sym(H)$.

Dimostrazione. Discende dalla Proposizione, poiché il sottoinsieme $H$ soddisfa le ipotesi dell'insieme $G$. #

[luca69]

Credo di aver commesso un errore: per essere nelle ipotesi della Proposizione occorre che $H$ sia chiuso rispetto alla moltiplicazione in $G$; ma allora è senz'altro $H \le G$. Quindi il Corollario dice -molto più banalmente- che $H \le G \Rightarrow \theta_H \le Sym(H), \gamma_H \le Sym(H)$.