Esercizio carino sui gruppi

[spugna]

Dimostrare che ogni gruppo di ordine $108$ ha un sottogruppo di Sylow normale.

[Stickelberger]

Si, carino!

Se il $3$-Sylow non e’ normale, allora, ce ne sono $4$ ed abbiamo una
successione esatta $1\rightarrow N \rightarrow G \rightarrow A_4\rightarrow 1$. Se il sottogruppo $V_4$
di $A_4$ agisce banalmente su $N$, allora c’e’ una successione
esatta $1\rightarrow H \rightarrow G \rightarrow A_4//V_4\rightarrow 1$ con $H$ abeliano di cardinalita’ $36$.
Ora, il $2$-Sylow di $H$ e’ caratteristico in $H$ e quindi normale in $G$.

Se $V_4$ non agisce banalmente su $N$, allora la mappa $A_4\rightarrow Aut(N)$
e’ iniettiva. Pero, $N$ ha ordine $9$ ed e’ abeliano. Il suo gruppo di automorfismi
e’ $ZZ_9^{\times}$ oppure $GL_2(ZZ_3)$ e non contiene ($\ ^{\ast}$) un sottogruppo isomorfo ad $A_4$.
E quindi non succede: $V_4$ agisce per forza banalmente su $N$.

($\ ^{\ast}$) per esempio, ogni sottogruppo di $GL_2(ZZ_3)$ generato da due involuzioni che
commutano, contiene per forza un elemento centrale non banale.
Ma il centro di $A_4$ e’ banale.