Nucleo Norma dei Quaternioni di Hamilton e sottogruppo dei commutatori

Messaggioda Giaxy » 22/07/2018, 19:12

Buonasera,
vi scrivo perché ho difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:

Sia N l'applicazione norma \[ \text{N:H*}\rightarrow\text{R*}\] dimostrare per \[x\in\text{ker(N)}\],\[x\neq1\] , esiste \[y\in\text{H*}\] tale che \[x=[1+\overline{x},y]\]

Ho provato a seguire varie strade ma non riesco a giungere ad una conclusione.
Non riesco effettivamente a capire se ho dimostrato se y esiste o meno.
Per la dimostrazione ho provato quella per assurdo che mi sembra molto adatta al caso e per fare i conti ho sfruttato il fatto che essendo la N(x)=1 si avra che il coniugato di x sarà anche l'inverso.
Ma comunque non riesco a venirne a capo.
Una ulteriore idea poteva essere dimostrare che il sottogruppo dei commutatori sia a sua volta contenuto nel nucleo ma comunque non riesco a giungere ad una conclusione.
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Re: Nucleo Norma dei Quaternioni di Hamilton e sottogruppo dei commutatori

Messaggioda killing_buddha » 22/07/2018, 23:26

Forse è meglio dare un po' di definizioni: la norma di un quaternione non nullo è la quantità \(\sqrt{q\bar q}\) oppure solo \(q\bar q\)? A seconda della definizione, hai una formula per \(N(q+q')\) (e chiaramente $N$ è moltiplicativa) che ti permette di chiederti chi sia \(N([x,y])=N(xy-yx)\). Con questa informazione in mano, probabilmente si può fare un conto diretto a partire da
\[
[1+\bar x,y]=\bar x y + y\bar x = x
\]da cui (ad esempio) $\bar x y \bar x + y\bar x\bar x = 1$.
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Re: Nucleo Norma dei Quaternioni di Hamilton e sottogruppo dei commutatori

Messaggioda Giaxy » 23/07/2018, 00:17

Allora si la norma è definita come \[N(x)=x\overline{x}\]
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Re: Nucleo Norma dei Quaternioni di Hamilton e sottogruppo dei commutatori

Messaggioda killing_buddha » 23/07/2018, 15:10

Allora si fa in quel modo, sì.
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Re: Nucleo Norma dei Quaternioni di Hamilton e sottogruppo dei commutatori

Messaggioda Giaxy » 15/08/2018, 14:54

Ho capito, grazie mille :)
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