Inferenze tra gruppi non isomorfi

[GBX1]

Riporto nel seguito un esercizio del corso di Algebra 2, con la soluzione.
Esercizio: Si consideri il gruppo diedrale D4 delle simmetrie del quadrato.
i)omissis
ii)Sia F il sottoinsieme delle simmetrie di S4 (probabile refuso per D4 - NDR) che lasciano fisso almeno un vertice del quadrato.Stabilire se F è un sottogruppo di D4.
Soluzione (della professoressa): Non si tratta di un sottogruppo. Pensando alle permutazioni di S4 corrispondenti alle simmetrie del quadrato, F corrisponde al sottoinsieme di S4 costituito dall'identità e dagli scambi (1,3) e (2,4), che non è un sottogruppo.

Domanda:premesso che sicuramente la soluzione proposta è corretta nel caso particolare, il mio dubbio riguarda il caso generale: visto che D4 e S4 non sono isomorfi (basta considerare che sono gruppi finiti di cardinalità diversa), è corretto metodologicamente inferire delle conclusioni relative ad un gruppo (nella fattispecie F) a partire da proprietà valide in un altro gruppo non isomorfo al primo?

[otta96]

Ma di che stai parlando?

[vict85]

Verosimilmente sarà un errore della professoressa. La soluzione ha infatti senso che si numerano da 1 a 4 i vertici del quadrato e si vede \(D_4\) come sottogruppo di \(S_4\). Insomma la soluzione corretta ha \(D_4\) ovunque e nessun \(S_4\).

[GBX1]

Grazie per la cortese risposta, che conferma i miei dubbi.