|G/Z(G)| = n, allora nessun sottogruppo di G ha più di n coniugati

[ti2012]

Salve a tutti. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo G e l'ipotesi che il centro di G, ossia Z(G) ha indice finito in G ossia |G/Z(G)| ha ordine pari a n, finito, perchè si ha che nessun sottogruppo di G ha più di n coniugati? Io ho ragionato per assurdo e quindi ho supposto che ci sia un sottogruppo K di G che abbia n+1 coniugati. Ciò, per un teorema studiato, equivale a dire che esistono n+1 laterali destri del normalizzante in G del sottogruppo K. Per la nostra ipotesi esistono n laterali destri di Z(G) in G... A tal punto (pensando anche al normalizzante di Z(G)in G) non sono arrivata alla conclusione . Ho riflettuto ma non sono arrivata alla conclusione.. Tanto gentilmente chiedo se qualcuno può aiutarmi.
Vi ribgrazio tantissimo

[Martino]

Ragiona sul fatto che il normalizzante di cui parli contiene Z(G).

[ti2012]

Grazie mille. Intendi il normalizzante in G di K (non quello di Z(G)), giusto? Se è così, ho pensato che essendo Z(G) contenuto nel normalizzante in G del generico sottogruppo K, allora ciò implica che avendo n+1 laterali destri del normalizzante in G di K, avremo n+1 laterali destri di Z(G). Pertanto si è arrivati ad un assurdo e dall'assurdo segue la tesi (il contenuto del mio quesito posto nel mio primo messaggio).... E' così? Grazie mille

[Martino]

Scusa non ti seguo. Siccome è molto semplice te lo scrivo direttamente: chiamando \( \displaystyle N_G(K) \) il normalizzante di K in G, siccome \( \displaystyle Z(G) \leq N_G(K) \leq G \) puoi scrivere

\( \displaystyle |G:Z(G)| = |G:N_G(K)| \cdot |N_G(K):Z(G)| \)

di conseguenza \( \displaystyle |G:N_G(K)| \) divide \( \displaystyle |G:Z(G)| \) e quindi \( \displaystyle |G:N_G(K)| \leq |G:Z(G)| \) .

[ti2012]

Grazie mille . Io avevo utilizzato tale catena di disuguaglianze e avevo proceduto continuando il ragionamento per assurdo scritto nel mio primo messaggio

[ti2012]

Chiedo scusa, il fatto che $Z(G) <= N_G(K)$ vale per la definizione di centro di un gruppo (ossia dell'insieme degli elementi permutabili con tutti gli elementi del gruppo) e per definizione di normalizzante del sottogruppo $K$ nel gruppo $G$? O per qualche altro risultato?
Grazie mille

[Martino]

Si può dimostrare facilmente. Prova a dimostrarlo, scrivi qui la dimostrazione e ti dico se è giusta

[ti2012]

Preso un generico elemento $x in Z(G)$ bisogna dimostrare che $x in N_G(K)$. Essendo $x in Z(G)$, si ha dunque (per definizione di centro di un gruppo) che $xy=yx$ per ogni elemento $y in G$ e quindi in particolare per ogni elemento di $K <= G$, cioè $x$ permuta con tutti gli elementi di $K <= G$. Pertanto $xK = Kx$, sicchè $x in N_G(K)$

[Martino]

Sì

[ti2012]

Grazie