Se i sottogruppi abeliani di un gruppo G sono virtualmente normali, allora G è FC-gruppo

[ti2012]

Salve a tutti. Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto che se in un gruppo G tutti i sottogruppi abeliani sono virtualmente normali, allora G è FC-gruppo in quanto ogni sottogruppo ciclico è incluso nell'FC-Centro di G per un teorema precedentemente studiato ossia "Sia G un gruppo e H sottogruppo finitamente generato di G. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale in G, allora H è incluso nell'FC-centro di G".
Ho dedotto che viene utilizzato il fatto che "H abeliano => H ciclico".. Tale implicazione è vera in generale sempre? Io so che vale quando un gruppo abeliano ha ordine pq, con p e q primi distinti :/
Inoltre il fatto che H sia incluso nell'FC-centro di G come fa ad assicurarci che G sia un FC-gruppo ossia che G coincide con il suo FC-centro? Grazie grazie grazie mille

[Martino]

Ciao!

Prima di tutto ti dò un consiglio per il futuro: quando parli di qualcosa dai le definizioni del caso. Otterrai molte più risposte. In questo caso lo faccio io per te: l'FC-centro di un gruppo è l'insieme degli elementi la cui classe di coniugio è finita. Si tratta di un sottogruppo normale di G.

Ora venendo al tuo quesito, l'argomento usa il fatto che ciclico implica abeliano, non il contrario. Se H è un sottogruppo ciclico allora è abeliano e quindi è virtualmente normale per ipotesi.

Ora se tutti i sottogruppi ciclici di G sono contenuti nell'FC-centro di G allora anche G è contenuto nell'FC-centro di G perché qualsiasi gruppo è sempre ovviamente uguale all'unione dei suoi sottogruppi ciclici.

[ti2012]

Grazie mille anche per il consiglio ^_^. Chiedo scusa, dato che io per ipotesi ho sottogruppi abeliani (e virtualmente normali) di G, come faccio a capire che in realtà sto partendo da sottogruppi ciclici e quindi di conseguenza abeliani? Stiamo partendo da sottogruppi ciclici e quindi abeliani in quanto in generale vale l'implicazione H gruppo ciclico => H abeliano e non il contrario? Grazie mille

[Martino]

Non capisco cosa vuoi dire.

Ipotesi:

(I) ogni sottogruppo abeliano è virtualmente normale.

Ora l'argomento è:

Se H è un sottogruppo ciclico di G allora è abeliano e quindi H è virtualmente normale per (I), quindi è contenuto nell'FC-centro di G. Siccome G è l'unione di tutti questi sottogruppi H, segue che G è contenuto nel suo FC-centro.

Concordi?

Ti è chiaro perché è vero che qualsiasi gruppo è l'unione dei suoi sottogruppi ciclici?

Confermo che ciclico implica abeliano ma abeliano non implica ciclico.

[ti2012]

Volevo dire: Per ipotesi ho sottogruppi abeliani e virtualmente normali nel gruppo G. Il libro afferma che a tal punto possiamo utilizzare un teorema che afferma: "Sia G un gruppo e H sottogruppo finitamente generato di G. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale in G, allora H è incluso nell'FC-centro di G". Come faccio a sapere che i sottogruppi che ho per ipotesi abeliani siano anche ciclici, in modo da essere nelle ipotesi del teorema sopra scritto e poter sfruttare quest'ultimo?
Il fatto che ogni gruppo G sia unione dei suoi sottogruppi ciclici non mi è del tutto chiaro chiaro in questo momento . Grazie ancora, grazie mille

[Martino]

Non capisco il teorema del libro. Mi puoi dire qual è il libro e qual è il teorema?

[ti2012]

Purtroppo non possiedo IO il libro .. Il teorema sopra scritto ("Sia G un gruppo e H sottogruppo finitamente generato di G. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale in G, allora H è incluso nell'FC-centro di G") vuole H ciclico e virtualmente normale..ma io per ipotesi so solo che ogni sottogruppo abeliano è virtualmente normale in G.. Quindi non riesco a capire come si possa utilizzare il teorema sopra scritto dato che non so cosa mi assicura che ogni sottogruppo abeliano sia ciclico..

[Martino]

Purtroppo non possiedo IO il libro ..

Ok ma non sai il titolo del libro?

"Sia G un gruppo e H sottogruppo finitamente generato di G. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale in G, allora H è incluso nell'FC-centro di G"

Nessun libro enuncerebbe un teorema in questo modo. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale allora in particolare è finitamente generato, quindi scritto così è un teorema che sovrabbonda di ipotesi. Per questo ti chiedo di darmi la fonte, così posso leggere il libro direttamente.

ma io per ipotesi so solo che ogni sottogruppo abeliano è virtualmente normale in G.. Quindi non riesco a capire come si possa utilizzare il teorema sopra scritto dato che non so cosa mi assicura che ogni sottogruppo abeliano sia ciclico..

Ma non hai bisogno che ogni sottogruppo abeliano sia ciclico! Hai solo bisogno che i sottogruppi ciclici sono abeliani.

Guarda provo ad essere ancora più esplicito.

Sia $g in G$. Vuoi mostrare che $g$ appartiene all' FC-centro. Chiamiamo $C$ l'FC-centro.

Vogliamo mostrare che $g in C$.

Consideriamo \( \displaystyle H= \langle g \rangle \) , il sottogruppo di G generato dall'elemento $g$.

Siccome $H$ è generato da un elemento, è un gruppo ciclico.

Siccome ogni gruppo ciclico è in particolare abeliano, abbiamo che $H$ è abeliano.

Siccome $H$ è abeliano, è virtualmente normale per ipotesi.

Siccome $H$ è ciclico e virtualmente normale, è contenuto in $C$ per il teorema.

Quindi abbiamo \( \displaystyle g \in H \subseteq C \) e deduciamo $g in C$, cioè quello che vogliamo.

Scusa ma non riesco ad essere più chiaro di così.

[ti2012]

No, non conosco il titolo del libro . Grazie mille.
Però se non consideriamo il sottogruppo H = $<<g>>$ ossia non partiamo da un sottogruppo H ciclico? E' questo il mio dubbio. Io per ipotesi parto da un gruppo abeliano e virtualmente normale, quindi se non considero H = $<<g>>$ non potrei dimostrare ciò che devo dimostrare?
Grazie mille

[Martino]

Scusa ma veramente non capisco di cosa stai parlando. Riesci a sforzarti di essere più chiaro? Non ho proprio la minima idea di cosa stai parlando

In matematica si cerca di trovare una catena di implicazioni che porta al risultato voluto.

Mi sembra di capire che forse hai una dimostrazione alternativa su cui hai dubbi, in questo caso scrivila e vediamo.