Se i sottogruppi abeliani di un gruppo G sono virtualmente normali, allora G è FC-gruppo

[ti2012]

Chiedo scusa . Ho per ipotesi che tutti i sottogruppi abeliani di un gruppo G sono virtualmente normali e devo dimostrare che il gruppo G è un FC-gruppo. Sul materiale di studio c'è scritto che la tesi ossia il fatto che G sia un FC-gruppo segue dal fatto che ogni sottogruppo ciclico è incluso nell'FC-centro di G grazie all'utilizzo del teorema "Sia G un gruppo e H sottogruppo finitamente generato di G. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale in G, allora H è incluso nell'FC-centro di G".
Se io per ipotesi ho H abeliano, cosa mi assicura che H sia ciclico, e così essere nelle ipotesi del teorema utilizzare e continuare con la dimostrazione da Lei scritta? Ancora grazie mille

[Martino]

Se H è abeliano in generale non è ciclico.

Ma guarda la questione è molto semplice.

Nell'argomento che ho scritto sopra avevo H ciclico.

Siccome ciclico implica abeliano, hai che H è abeliano.

Quindi H è abeliano.

Quindi H è virtualmente normale per ipotesi.

Ma H non ha smesso di essere ciclico. Giusto?

Quindi adesso ci ricordiamo che H è ciclico.

Abbiamo ottenuto che H, oltre ad essere ciclico, è anche virtualmente normale.

Ma allora siamo nelle ipotesi del teorema!

[ti2012]

Sì, ripeto, mi trovo perfettamente . Il mio unico dubbio di sempre è quanto contenuto nel rigo "Nell'argomento che ho scritto avevo H ciclico". Perchè H è ciclico? Se non consideriamo H = $<<g>>$, ossia H ciclico, ma consideriamo un generico sottogruppo H abeliano (quindi non necessariamente ciclico)?

[Martino]

Se non consideriamo H = $<<g>>$, ossia H ciclico, ma consideriamo un generico sottogruppo H abeliano (quindi non necessariamente ciclico)?

Se fai questo non riesci a concludere come ho fatto io che H è contenuto nell'FC-centro, perlomeno non usando il teorema, ma perché dovresti supporre H abeliano?

[ti2012]

Supporre H abeliano in quanto è l'ipotesi iniziale che ho.. La ciclicità calza a pennello però se mi venisse chiesto: Se non consideriamo H ciclico ma solo abeliano?
Ancora davvero grazie grazie mille per la gentilissima attenzione e disponibilità ^_^

[Martino]

Prego, ma se chi ti avesse chiesto? E per quale motivo te lo dovrebbero chiedere?

[ti2012]

Il docente .. E' capitato che mi venisse detto di non utilizzare, di non supporre solo il caso a noi favorevole per dimostrare una certa cosa, come nel mio caso supporre H ciclico, ma dover considerare anche un'ipotesi che non comprenda il caso "favorevole"