Esempio banale

[Indrjo Dedej]

Ciao
Ultimamente mi è caduto sott'occhio un fatto che può sembrare inutile, ma è interessante per me. Il punto in questione è questo:

Example 0.1 Let us denote with $1$ a set with one element. (It does not matter what this element is called.) Then $1$ has the following property:

for all sets $X$, there exists a unique map from $X$ to $1$.

Se \(X \ne \varnothing\) non ci sono problemi, anzi la cosa risulta banale. Ma dice "for all sets $X$" senza restrizioni particolari su $X$. E quindi il caso \(X=\varnothing\)? Forse questo è un'azzardo perché in qualunque definizione di funzione che ho visto suppone (e così anh'io) chiaramente che dominio e codominio non devono essere vuoti. Però non sarebbe una brutta idea dire: \[\forall f \subseteq A \times B \ \colon \ \text{$f$ funzione da $A$ a $B$} \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \forall x \in A \exists ! y \in B \ \colon \ (x,y) \in f\] senza imporre che \(A \ne \varnothing\). In effetti \(\forall x \in \varnothing \exists ! y \in B \ \colon \ (x,y) \in f\) sarebbe una affermazione vera, no? Formalmente una cosa del tipo \(\forall \bullet \in \varnothing \ \colon P(\bullet)\) è un modo più compatto per dire \(\forall \bullet \ \colon \ \bullet \in \varnothing \Rightarrow P(\bullet)\). Chiaramente \(\bullet \in \varnothing\) è falso e quindi l'implicazione risulterebbe vera. Quindi in definitiva, sì, esisterebbe almeno una funzione \(\varnothing \mapsto B\). Similmente, ne esisterebbe almeno una da \(\varnothing\) a $1$. E sarebbe anche unica? Ci devo pensare...

Ha senso?

[killing_buddha]

Sì.

La funzione vuota è una funzione onestissima, e, in effetti, l'insieme vuoto ha la proprietà duale: per ogni insieme $X$, esiste un'unica funzione \(\varnothing \to X\).

Il motivo è semplice: la definizione di funzione $f : A\to B$ dice che essa è un sottoinsieme di $A\times B$ tale che $a\in A \Rightarrow \exists! b\in B : (a,b)\in f$. Quando $A$ è vuoto, l'antecedente è falso, e l'implicazione è vera.

Alternativamente, l'unico sottoinsieme di \(\varnothing \times X = \varnothing\) è \(\varnothing\) stesso, e questa relazione è una funzione; del resto questa è una funzione per lo stesso fenomeno di verità vuota.

[Indrjo Dedej]

Ok, sì, quindi ha senso quello che ho detto. La riflessione è partita da questo esempio banale, però si può generalizzare con un codominio qualsiasi. (Ho fatto un refuso all'ultimo, mettendo $1$ al posto di $B$, correggo.)

l'unico sottoinsieme di \(\varnothing \times X\) è \(\varnothing\) stesso, e questa relazione è una funzione

Ok, ci ero arrivato, prima per vie complicate, poi così.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ma perché in questo forum scrivendo

Codice:

$\varnothing$

mi da $\varnothing$, mentre

Codice:

\(\varnothing\)

produce, quello che spero io, \(\varnothing\)? TeXlive non mi fa queste cose...

[killing_buddha]

Il motivo è che la sintassi tra dollari viene catturata e compilata da una cosa che non è TeX; usare le back-tonda, o meglio ancora la tag [tex], invece, dà il risultato che ti aspetti (la tag [tex] supporta anche il package xy, che disegna diagrammi commutativi; sospetto che tra un po' ti servirà).

[Indrjo Dedej]

Sto già usando xy.

Ma ritornando al discorso di prima e completandolo. Il dominio può essere vuoto. Il codominio non sempre. Se il dominio è vuoto, il codominio può esserlo. Se invece il dominio non è vuoto, il codominio non può essere vuoto.

[killing_buddha]

Sì; è infatti abbastanza banale (ma piuttosto istruttivo sul concetto di verità vuota) formalizzare il fatto che non esistono funzioni \(X\to \varnothing\) se $X$ non è vuoto.

Variazione su questo tema: perché le strutture algebriche sono sempre, per definizione, insiemi non vuoti, e le strutture spaziali (insiemi, spazi topologici, spazi di misura...) no?

[Indrjo Dedej]

Variazione su questo tema: perché le strutture algebriche sono sempre, per definizione, insiemi non vuoti, e le strutture spaziali (insiemi, spazi topologici, spazi di misura...) no?

Nelle teorie degli insiemi c'è un assioma che richiede che ci sia almeno un vuoto. Sarà forse per il fatto di voler definire l'intersezione tra due insiemi sempre e comunque, invece di stare attennti di volta in volta se i due insiemi da intersecare abbiano o meno qualche elemento in comune. Sarà anche forse il fatto che ad un predicato sempre falso come \(z \ne z\) si vuole associare un insieme vuoto.
Se \((X,\psi)\) è uno spazio topologico, non ci sarebbe alcun problema se il sostegno è vuoto. E semplicemente \(\psi = \{\varnothing\}\). Tanto

1 \(\varnothing,X \in \psi\)
2 \(\displaystyle \forall \chi \subseteq \psi \colon \bigcup_{E \in \chi} E \in \psi\)
3 \(\forall A,B \in \psi \colon A \cap B \in \psi\)

Similmente per gli spazi metrici. Esiste infatti una e una sola funzione \(\mu\) da \(\varnothing=\varnothing \times \varnothing\) e \(\mathbb{R}\). È una metrica? Sì, tanto le richieste perché lo sia incominciano con \(\forall\).

[Indrjo Dedej]

Per un magma \((X,\cdot)\) non ci vedrei niente di male se \(X\) è vuoto. Sempre, ci sarebbe una e una sola funzione da \(\varnothing=\varnothing\times\varnothing\) a \(\varnothing\). Lo stesso se su \(X\) vengono definite più operazioni.

[killing_buddha]

In effetti il magma vuoto è un sottomagma di ogni magma; ma dovrei pensare se \(\varnothing\) è o meno un oggetto iniziale nella categoria dei magmi (il magma libero sull'insieme vuoto deve essere tale oggetto, e mi sembra che questo abbia esattamente un elemento, la parola vuota).

[Gi.]

Io sapevo che i linguaggi algebrici sono quelli senza i simboli di predicato. Qualsisasi linguaggio algebrico in cui non hai costanti è interpretabile nell’insieme vuoto, che sarà l’algebra iniziale per quel linguaggio. Un esempio è proprio dato da quella roba che per qualche ragione a me oscura è stata chiamata magma.