Teor. fond. dell'algebra

[girl222]

Per il Teorema fondamentale dell'Algebra un polinomio di grado n ha n radici in campo complesso, tenendo conto della loro molteplicità. Se n è dispari, allora il polinomio ha almeno una radice reale, le soluzioni non reali sono coppie di numeri complessi coniugati. Inoltre per il teorema delle radici razionali, sappiamo che esse (cioè solo quelle razionali) possono essere ricercate tra i divisori del termine noto o tra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del termine di grado massimo; mentre il teorema non ci dice assolutamente nulla al riguardo delle radici irrazionali.
Se per esempio ho di fronte un polinomio di grado 3, le sole possibilità sono due:questi ha tre radici reali o una reale e due complesse e coniugate.
La mia domanda è: non esiste nessun teorema che permetta di sapere se le radici di un polinomio a coefficienti reali sono tutte distinte o si possa sapere quante sono distinte e qual è la molteplicità di quelle che non lo sono??
Io credo di no, ma non ho grandi conoscenze di Algebra... Potreste dirmelo?

[Tipper]

Se n è dispari, allora il polinomio ha almeno una radice reale, le soluzioni non reali sono coppie di numeri complessi coniugati.

Il polinomio però deve essere a coefficienti reali.

Per quanto riguarda il resto, c'è la regola di Cartesio che ti permette di conoscere il segno della parte reale delle radici, per quanto la molteplicità, io non saprei...

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Si sa ad esempio che le radici complesse di un qualunque polinomio a coefficienti reali sono tutte di molteplicità $1$

[lupo grigio]

Dall'algebra insegnata al primo anno di università...

Teorema: condizione necessaria e suffciente affinchè l'equazione algebrica $P(x)=0$ ammetta radici multiple è che, indicando con $P'(x)$ la derivata di $P(x)$, le due equazioni $P(x)=0$ e $P'(x)=0$ abbiano radici comuni

Definizione: si chiama discriminante dell'equazione algebrica $P(x)=0$ una funzione razionale intera dei suoi coefficienti la quale si annulla se e soltanto se l'equazione ha radici multiple

cordiali saluti

lupo grigio



An o0ld wolf may lose his teeth, but never his nature

[Luca.Lussardi]

Il teorema enunciato (detto anche di separabilita') e' si' una condizione necessaria e sufficiente ma e' poco pratico. Per poterlo usare con le mani uno deve trovarsi le radici di P e P', ma se trova le radici di P ha gia' risolto il problema......

[lupo grigio]

Ovvimente non è così...

Supponiamo che si riesca in qualche modo a trovare una radice $alpha$ di $P(x)$. Per provare che tale radice ha molteplicità 1 è sufficiente verificare che è $P'(alpha) ne 0$ senza dover cercare le radici di $P'(x)$...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Cmax]

Si sa ad esempio che le radici complesse di un qualunque polinomio a coefficienti reali sono tutte di molteplicità 1

Il polinomio $x^4+2 x^2 + 1 = (x^2+1)^2 = (x+i)^2(x-i)^2$ non ha radici complesse molteplici?

[Luca.Lussardi]

Appunto: e' quel supponiamo che mi preoccupa.... un bel risultato sarebbe uno che non passa per il conoscere una o piu' radici, quindi quel Teorema ha uno scarso potenziale applicativo, sebbene sia fondamentale teoricamente (e' un risultato basilare per la Teoria di Galois).

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Si sa ad esempio che le radici complesse di un qualunque polinomio a coefficienti reali sono tutte di molteplicità 1

Il polinomio $x^4+2 x^2 + 1 = (x^2+1)^2 = (x+i)^2(x-i)^2$ non ha radici complesse molteplici?

Mi dimentico sempre di scriverlo: l'ipotesi è che il polinomio sia a coefficienti reali e irriducibile

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Ad esempio se un polinomio $P$ a coefficienti razionali è irriducibile in $Q[x]$, allora $P$ ha automaticamente tutte le radici di molteplicità $1$. Si può stabilire dunque in questo caso la molteplicità delle radici, evitando di passare per $P'$, con l'applicazione di vari criteri di irriducibilità, fra i quali quello di Eisenstein.