05/08/2018, 18:14
05/08/2018, 23:36
otta96 ha scritto:1) Come si fa a dimostrare che una BA completa e atomica è isomorfa a $P(X)EEX$?
06/08/2018, 09:24
otta96 ha scritto:2) Come si dimostra che una BA infinita ha una anticatena infinita?
3) Su ogni insieme infinito può essere messa una struttura di BA?
4) Perché (tenendo presente la rappresentazione di Stone per le BA) una BA è completa sse il suo spazio degli ideali primi è estremamente sconnesso?5) Dove posso studiare il teorema di rappresentazione per le BA complete (cioè una BA completa è isomorfa all'algebra degli aperti regolari di uno spazio topologico $T_2$)? Se può essere utile la rappresentazione "classica" l'ho studiata del Davey & Priestley e mi ci sono trovato bene.
06/08/2018, 14:16
fmnq ha scritto:Questa è una cosa iperclassica, e in effetti legata alla dualità di Stone. Dato un insieme $ A $, il suo insieme delle parti $ PA $ è una CABA (complete atomic Boolean algebra). Data un'algebra di Boole $ B $, la mandi nell'insieme $ \alpha B $ degli atomi di $ B $: ora, dimostri che $ P(\alpha B) $ è un'algebra di Boole isomorfa a $ B $ (sugg.: c'è un omomorfismo di algebre $ P(\alpha B)\to B $ che manda un sottoinsieme di atomi in $ \bigwedge b_i $, che esiste per completezza).
fmnq ha scritto:Credo si faccia qualcosa del genere: a un'algebra di Boole $ B $ si associa il suo spazio di Stone $ SB $, e vale che $ |B| \le |SB| $.
Allora anche lo spazio di Stone di $ B $ è infinito; ma allora in $ SB $ ci sono un numero infinito di clopen a due a due disgiunti
Solitamente queste dimostrazioni (anche per altri tipi di struttura) si fanno così: esiste una struttura libera $ FX $ su un insieme, e se $ X $ è infinito, $ |X| = |FX| $. Questo implica che esiste una struttura di qualsiasi cardinalità, per trasporto. L'argomento quindi non ha niente a che fare con le algebre di Boole. https://math.stackexchange.com/a/2476723/685
09/08/2018, 18:10
Sembra la dimostrazione che conosco io del caso delle BA finite, ma purtroppo quella dimostrazione non riesco a capire se si adatta al caso delle CABA.
Mi puoi spiegare questo fatto più in dettaglio?
Nemmeno questo ho capito…
09/08/2018, 18:17
otta96 ha scritto:Questo l'ho capito, ma faccio un rilancio:
3.bis) Su ogni insieme infinito si può porre una struttura di BA atomica?
3.tris) Su ogni insieme infinito si può porre una struttura di BA completa?
12/08/2018, 18:46
12/08/2018, 22:12
12/08/2018, 22:56
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