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Recentemente mi sono interessato un po' alle algebre di Boole (BA) e mi è sorta qualche domanda su esse (e su argomenti correlati), ma essendo tante non mi sembra una buona idea né metterle tutte in post diverse, né tutte nello stesso così vi chiedo delle referenze per le varie domanda che mi interessano (chiaramente se mi rispondete direttamente lo apprezzo maggiormente).
1) Come si fa a dimostrare che una BA completa e atomica è isomorfa a $P(X)EEX$?
2) Come si dimostra che una BA infinita ha una anticatena infinita?
3) Su ogni insieme infinito può essere messa una struttura di BA?
4) Perché (tenendo presente la rappresentazione di Stone per le BA) una BA è completa sse il suo spazio degli ideali primi è estremamente sconnesso?
5) Dove posso studiare il teorema di rappresentazione per le BA complete (cioè una BA completa è isomorfa all'algebra degli aperti regolari di uno spazio topologico $T_2$)? Se può essere utile la rappresentazione "classica" l'ho studiata del Davey & Priestley e mi ci sono trovato bene.
6) Ho trovato questo e le risposte non le ho capite, ma mi sono chiesto, come è possibile che una BA COMPLETA non sia isomorfa a nessuna $\sigma$-algebra? Io avevo pensato che essendo isomorfa a una sottoalgebra di $P(X)EEX$ ed essendo completa dovesse necessariamente essere chiusa anche per unioni e intersezioni numerabili.
7) Esiste un reticolo con massimo e minimo tale che ogni elemento abbia un unico complemento ma non sia un reticolo Booleano (cioè non è distributivo)?
Io sfogliando un pò in rete ho trovato questo, mi chiedevo se lo conoscete e cosa ne pensate, soprattutto se può essere utile a rispondere a queste domande (la mia impressione è che magari affronti questi argomenti da un punto di vista un po' diverso).

otta96 ha scritto:1) Come si fa a dimostrare che una BA completa e atomica è isomorfa a $P(X)EEX$?

Questa è una cosa iperclassica, e in effetti legata alla dualità di Stone. Dato un insieme $A$, il suo insieme delle parti $PA$ è una CABA (complete atomic Boolean algebra). Data un'algebra di Boole $B$, la mandi nell'insieme $\alpha B$ degli atomi di $B$: ora, dimostri che $P(\alpha B)$ è un'algebra di Boole isomorfa a $B$ (sugg.: c'è un omomorfismo di algebre $P(\alpha B)\to B$ che manda un sottoinsieme di atomi in $\bigwedge b_i$, che esiste per completezza).

otta96 ha scritto:2) Come si dimostra che una BA infinita ha una anticatena infinita?

Credo si faccia qualcosa del genere: a un'algebra di Boole $B$ si associa il suo spazio di Stone $SB$, e vale che $|B| \le |SB|$. Allora anche lo spazio di Stone di $B$ è infinito; ma allora in $SB$ ci sono un numero infinito di clopen a due a due disgiunti (perché i clopen di uno spazio di Stone ne sono una base). A questo punto i clopen disgiunti generano una anticatena in $B$, per dualità di Stone.

3) Su ogni insieme infinito può essere messa una struttura di BA?

Solitamente queste dimostrazioni (anche per altri tipi di struttura) si fanno così: esiste una struttura libera $FX$ su un insieme, e se $X$ è infinito, $|X| = |FX|$. Questo implica che esiste una struttura di qualsiasi cardinalità, per trasporto. L'argomento quindi non ha niente a che fare con le algebre di Boole. https://math.stackexchange.com/a/2476723/685

4) Perché (tenendo presente la rappresentazione di Stone per le BA) una BA è completa sse il suo spazio degli ideali primi è estremamente sconnesso?5) Dove posso studiare il teorema di rappresentazione per le BA complete (cioè una BA completa è isomorfa all'algebra degli aperti regolari di uno spazio topologico $T_2$)? Se può essere utile la rappresentazione "classica" l'ho studiata del Davey & Priestley e mi ci sono trovato bene.

Ho idea che queste domande siano studiate nel libro di Johnstone.

Grazie mille per queste risposte, fmnq!

fmnq ha scritto:Questa è una cosa iperclassica, e in effetti legata alla dualità di Stone. Dato un insieme $ A $, il suo insieme delle parti $ PA $ è una CABA (complete atomic Boolean algebra). Data un'algebra di Boole $ B $, la mandi nell'insieme $ \alpha B $ degli atomi di $ B $: ora, dimostri che $ P(\alpha B) $ è un'algebra di Boole isomorfa a $ B $ (sugg.: c'è un omomorfismo di algebre $ P(\alpha B)\to B $ che manda un sottoinsieme di atomi in $ \bigwedge b_i $, che esiste per completezza).

Sembra la dimostrazione che conosco io del caso delle BA finite, ma purtroppo quella dimostrazione non riesco a capire se si adatta al caso delle CABA.

fmnq ha scritto:Credo si faccia qualcosa del genere: a un'algebra di Boole $ B $ si associa il suo spazio di Stone $ SB $, e vale che $ |B| \le |SB| $.

Mi puoi spiegare questo fatto più in dettaglio?

Allora anche lo spazio di Stone di $ B $ è infinito; ma allora in $ SB $ ci sono un numero infinito di clopen a due a due disgiunti

Nemmeno questo ho capito…

Solitamente queste dimostrazioni (anche per altri tipi di struttura) si fanno così: esiste una struttura libera $ FX $ su un insieme, e se $ X $ è infinito, $ |X| = |FX| $. Questo implica che esiste una struttura di qualsiasi cardinalità, per trasporto. L'argomento quindi non ha niente a che fare con le algebre di Boole. https://math.stackexchange.com/a/2476723/685

Questo l'ho capito, ma faccio un rilancio:
3.bis) Su ogni insieme infinito si può porre una struttura di BA atomica?
3.tris) Su ogni insieme infinito si può porre una struttura di BA completa?

Sembra la dimostrazione che conosco io del caso delle BA finite, ma purtroppo quella dimostrazione non riesco a capire se si adatta al caso delle CABA.

Quell'argomento non usa da nessuna parte la cardinalità: ogni algebra di Boole finita è completa, per un motivo banale, ma l'unica proprietà che ti serve a definire la counità $P(\alpha B)\to B$ è la completezza di $B$.

Mi puoi spiegare questo fatto più in dettaglio?

Il supporto dello spazio di Stone è l'insieme degli ultrafiltri su $B$, mi sembra che si possa dimostrare con questa definizione che ci sono almeno tanti ultrafiltri quanti elementi (a posteriori, siccome $B\cong PA$, questo è evidente: c'è un ultrafiltro dei sottoinsiemi di $A$ che non contengono $b$.

Nemmeno questo ho capito…

Come è definito lo spazio di Stone di un'algebra di Boole? Come è definita la corrispondenza tra elementi di $B$ e clopen di $SB$?

otta96 ha scritto:Questo l'ho capito, ma faccio un rilancio:
3.bis) Su ogni insieme infinito si può porre una struttura di BA atomica?
3.tris) Su ogni insieme infinito si può porre una struttura di BA completa?

E' sufficiente, ma probabilmente non necessario, che sia vero che \(\bf AtomBAlg\) e \(\bf CompBAlg\) sono categorie riflessive di \(\bf Set\). Questo equivale a chiedere: se $X$ è un insieme e $B$ un'algebra di Boole atomica (resp., completa), esiste un'algebra di Boole atomica (resp., completa) che generi una biiezione
\[
{\bf AtomBAlg}(FX,B)\cong{\bf Set}(X, |B|)
\] (resp.
\[
{\bf CompBAlg}(FX,B)\cong{\bf Set}(X , |B|))
\] che sia naturale in ambo gli argomenti?

Quello di Johnstone è un bel libro, ma la tua impressione è giusta. Secondo me queste cose le trovi tutte sull’Halmos

Intendi questo?

Si lui. Ci sono varie ediZioni sotto vari nomi del solito libro che è Lectures on Boolean Algebras se non sbaglio. Per le domande 3bis 3tris e discussioni affini invece dovresti guardare nel primo capitolo di Stone Spaces quando parla dei reticoli liberi ma adesso non ho il libro sotto mano

Grazie, vedrò se riesco a procurarmi il testo e a darci un'occhiata per risolvere i miei dubbi.