Re: Problema relativo all'esistenza di determinazioni che stabiliscono l'esistenza di certi insiemi

Messaggioda Gi. » 14/08/2018, 21:47

il tuo dubbio è questo qua no?
Leggi qua : https://mathoverflow.net/questions/1011 ... al-numbers
Gi.
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Re: Problema relativo all'esistenza di determinazioni che stabiliscono l'esistenza di certi insiemi

Messaggioda bub » 15/08/2018, 14:33

Gi. ha scritto:il tuo dubbio è questo qua no?
Leggi qua : https://mathoverflow.net/questions/1011 ... al-numbers


Sto dicendo che il concetto "essere un oggetto raggiungibile da $0$" non è ben definibile senza presupporre già qualcosa di analogo (l'espressione di prima che ho usato se si volesse formalizzare bene non si riuscirebbe a farlo). Se cerchiamo di definirlo al secondo ordine con gli assiomi dell'aritmetica si può essere certi che non ci va a finire altro solo se si presuppone che tra le "P" del principio di induzione ci finisce anche una proprietà del genere (per definirla dobbiamo presupporla), se questa cosa qua non si presuppone a monte, non si può mai escludere che i modelli siano fatti diversamente anche se sono tutti isomorfi.
informalmente si applica un'operazione e poi dopo aver mostrato un elenco che continua con i puntini si dice "nient'altro è un numero", ora questa per me non è una definizione vera e propria, ci capiamo, si spera, ma non è una definizione.
Per poter dire nient'altro dovrei poter comunicare "se una cosa è diversa da a, b e c non è un numero", ma l'elenco qua è infinito, per dire poi a te che "Una cosa è diversa da $0$ e è diversa $s(0)$ e è diversa $s(s(0))$, ... allora non è un numero", devo usare un'espressione infinita e non tante finite.
Si può poi dire magari "Affinché $n$ sia un numero, $n$ deve essere uguale ad una cosa che viene fuori applicando a $0$ un numero finito di volte successore", ma è ancora una definizione circolare che rimanda a "numero finito" che è una collezione (o proprietà) analoga a quella che si vuol caratterizzare.
Il concetto di infinito da solo è caratterizzabile con delle definizioni formalizzabili tramite il sistema alla Cantor ad esempio (funzione biettiva dal tutto ad una parte propria... Questa definizione non è circolare, non presuppone il concetto di infinito e lo fa "atterrare" in altri concetti più semplici) ma il concetto "essere un numero" invece, nel senso indebolito di oggetto raggiungibile da $0$ (usando descrizioni che danno un'idea ma che non sono ben formalizzabili) a me sembra inesprimibile in generale con espressioni corrette e non circolari.
Ma più in generale dato un certo elemento $e$ e un'operazione che si applica a questo non si riesce mai ad esprimere formalmente bene senza circoli viziosi questa cosa qua "l'insieme fatto dagli oggetti a cui si applica l'operazione un numero finito di volte" casomai questa operazione non va in ciclo. Questo volevo dire.
Tutte le definizioni alternative e non circolari (il secondo ordine inteso in senso forte per me è circolare e comunque non va bene, presuppone esistenti nel dominio di quantificazione delle proprietà - o collezioni - i concetti che definisce) quando si cercano di caratterizzare bene sembra che non riescano a catturare la cosa.

Io presuppongo che ci capiamo, ma mi sa che ci capiamo in modo abbastanza intuitivo su queste cose qua, mi pare che le afferriamo ma a parlarne non ne riusciamo mai a parlare bene o a caratterizzarle col linguaggio.
bub
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Re: Problema relativo all'esistenza di determinazioni che stabiliscono l'esistenza di certi insiemi

Messaggioda Gi. » 16/08/2018, 00:55

Ok mi pare che quello che vuoi dire si possa sintetizzare nella citazione “ the naive integers don’t fill up $mathbb{N}$ “ che è di
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Georges_Reeb
Ti segnalo questo documento, in particolare 2.2 pag 4, 8 pag 39 e 7.1 pag 32 : https://arxiv.org/pdf/1703.00425.pdf
Gi.
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