Problema relativo all'esistenza di determinazioni che stabiliscono l'esistenza di certi insiemi

[bub]

Non so se è la sezione giusta, volevo porre una domanda di ordine filosofico più che matematico.
Mi chiedevo come si può esprimere tramite qualche condizione logica che un insieme $X$ - che contiene un certo elemento $e$ ed è chiuso rispetto alla funzione $s$ - contiene soltanto elementi del tipo

$e$
$s(e)$
$s(s(e))$
$s(s(s(e)))$
...

con qualche condizione logica (o magari con un'infinità di condizioni logiche separate e non frasi infinite) e senza fare uso intuitivamente dei puntini come ho fatto io adesso.
Io ci ho ragionato un po' e mi sembra non si possa fare proprio in modo alternativo se si esclude che questi oggetti si ripetano (si può escludere affermando magari che $s$ in $X$ è iniettiva e $not exists x in X (s(x) = e)$.
Se dico che $e in X$ $forall x (x in X -> s(x) in X)$ con queste condizioni costringo a stare in $X$ tutti gli elementi della successione (con i puntini di sopra), ma come faccio ad escludere che non ci possa andare a finire altro?
Spesso per riferirsi a questo insieme si usa lo stratagemma degli elementi comuni a tutti gli insiemi che godono delle proprietà che ho scritto prima usando al posto di $X$ un'altra variabile, ma lo stesso questo non esclude che questo minimo rispetto all'inclusione non possa contenere altro a rigor di logica, dipende da che insiemi esistono o abbiamo stabilito che debbano esistere tramite altre determinazioni logiche, e quindi anche qua si ripresenta lo stesso problema, se non abbiamo una condizione per dire che il tale insieme debba esistere (quello dove ci sono soltanto quegli elementi di quel tipo, solo quelli e non altro) come facciamo ad imporre in una teoria che parla di insiemi che debba esistere necessariamente senza far ricorso ai puntini?
Noi riusciamo a capirci, afferriamo cosa vogliamo dire (altrimenti voi ed io non capiremmo nemmeno il problema), ma non ci capiamo in base a qualche espressione linguistica e nemmeno un gruppo di espressioni in questi casi.

[killing_buddha]

Sei familiare col concetto di proprietà universale?

[killing_buddha]

In generale puoi fare così: se $X_0$ è un insieme (nel tuo caso $X_0 = \{e\}$) definisci
\[
X_{n,s} := \{s(x) \mid x\in X_{n-1}\} \qquad\qquad \overline{X}^s := \bigcup_{n\ge 0} X_n
\] ad assicurarti che ora \(\overline{X}^s\) non contenga altro che gli elementi che hai deciso tu è la sua definizione, e il fatto che l'unione di insiemi \(\bigcup_{n\ge 0} A_n\) soddisfa una proprietà universale: è l'insieme "più piccolo in assoluto" che contiene tutti gli elementi che hai prescritto.

[bub]

In generale puoi fare così: se $X_0$ è un insieme (nel tuo caso $X_0 = \{e\}$) definisci
\[
X_{n,s} := \{s(x) \mid x\in X_{n-1}\} \qquad\qquad \overline{X}^s := \bigcup_{n\ge 0} X_n
\] ad assicurarti che ora \(\overline{X}^s\) non contenga altro che gli elementi che hai deciso tu è la sua definizione, e il fatto che l'unione di insiemi \(\bigcup_{n\ge 0} A_n\) soddisfa una proprietà universale: è l'insieme "più piccolo in assoluto" che contiene tutti gli elementi che hai prescritto.

Gli $n$ come li abbiamo introdotti?
Se volessimo definire l'insieme dei numeri naturali che tu hai usato per definire l'altro insieme torniamo allo stesso problema di partenza. Dovremmo poter dire che in $N$ c'è lo $0$ e solo i successori di $0$ perché funzioni la tua definizione.

$0$
$s(0)$
$s(s(0))$
...
e nient'altro.

questo nient'altro come lo esprimi se già non si è capito a monte quale sia questo insieme?

Per i numeri naturali stessi si pone lo stesso identico problema. Avevo usato $s$ non a caso prima per intendere $successore$. Se per i numeri naturali non si può escludere che ci sia altro anche quando dimostri che c'è una biezione tra questo insieme e altri insiemi non riesci a dimostrare che non ci vada a finire anche altro oltre agli elementi che ho elencato con i puntini sopra.
$n$ nella tua definizione è una variabile, ma dove varia? Sull'insieme dei numeri naturali? E l'insieme dei numeri naturali cos'è? Viene introdotto con lo stesso stratagemma.

Che sia il più piccolo in assoluto rispetto all'inclusione non esclude che oltre agli $s(...(s(e)))$ ci sia anche qualcos'altro.

[Gi.]

È del tutto comune definire Insiemi come quello da te descritto induttivamente. La tua domanda si riduce quindi a come caratterizzare i numeri naturali,cioe al caso in cui la tua $s$ è la funzione successore, con tutte le sue proprietà e $e=0$. Al primo ordine non puoi caratterizzare i numeri naturali, Il motivo è la compattezza della logica al primo ordine. Al secondo ordine i numeri naturali sono caratterrizati a meno di isomorfismo come unico modello degli assiomi di Peano, ciò che li caratterizza è proprio il principio di induzione, che è un assioma del secondo ordine.

[killing_buddha]

E l'insieme dei numeri naturali cos'è?

E' un NNO nel topos dove vivi. https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number_object

I teoremi si fanno con gli assiomi

[Indrjo Dedej]

Scusami, ma cosa c'è di male nell'intersecare tutti e soli gli insiemi che bla, bla, bla... Infatti, posto \[\text{per ogni insieme $X$ } \colon \text{$X$ induttivo} \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} \bullet \in X \\ \forall x \colon x \in X \Rightarrow s(x) \in X\end{cases} \ ,\] l'insieme che proprio tu cerchi, chiamiamolo $\gamma$, è induttivo per la definizione appena data. Come se non bastasse, per ogni $A$ induttivo si ha $\gamma \subseteq A$. Per la qual cosa si ha \[\gamma=\bigcap_{\text{$I$ induttivo}}I \ .\]

[bub]

È del tutto comune definire Insiemi come quello da te descritto induttivamente. La tua domanda si riduce quindi a come caratterizzare i numeri naturali,cioe al caso in cui la tua $s$ è la funzione successore, con tutte le sue proprietà e $e=0$. Al primo ordine non puoi caratterizzare i numeri naturali, Il motivo è la compattezza della logica al primo ordine. Al secondo ordine i numeri naturali sono caratterrizati a meno di isomorfismo come unico modello degli assiomi di Peano, ciò che li caratterizza è proprio il principio di induzione, che è un assioma del secondo ordine.

Ma io dico che al secondo ordine non si riesce più a capire bene proprietà che significa. Per mostrare che la teoria è categorica bisogna assumere che la proprietà che è soddisfatta solo da $0$ e i successori di $0$ e nient'altro esiste, si sfrutta il principio di induzione e il dominio deve collassare tutto tra questi, ma questa affermazione deve far ricorso a nozioni intuitive non definibili logicamente comunque.
Al secondo ordine si presuppone che la variabile di proprietà varia anche su cose del genere, ma se lo volessi comunicare o dirlo che deve variare su cose del genere non potrei farlo comunque con affermazioni finite, devo ricorrere ai puntini e cose simili, o ricorrere a definizioni circolari che tirano in ballo i numeri.
Come si dimostra al secondo ordine che la teoria è categorica senza presupporre l'esistenza della proprietà o insieme di prima?
Presupporre l'esistenza di una cosa del genere non si riesce a "dire" in qualche modo, per questo secondo me resta indefinibile in termini linguistici stringenti comunque anche se si riesce ad afferrare per altre vie.

[Gi.]

Non ti seguo. Al primo ordine i numeri naturali non li puoi caratterizzare nel modo in cui vuoi fare te. Al secondo sono univocamente caratterizzati come l’unico modello degli assiomi di peano. Quello che stai assumendo implicitamente è che un tale modello esista, cioè che l’aritmetica sia consistente. È questo che ti turba?

[bub]

Non ti seguo. Al primo ordine i numeri naturali non li puoi caratterizzare nel modo in cui vuoi fare te. Al secondo sono univocamente caratterizzati come l’unico modello degli assiomi di peano. Quello che stai assumendo implicitamente è che un tale modello esista, cioè che l’aritmetica sia consistente. È questo che ti turba?

Al secondo ordine come fai a dimostrare che la teoria è categorica?
Cioè tutti i modelli sono isomorfi?
L'unica differenza dal primo ordine consiste nel domino di variazione della $P$ nell'assioma di induzione. Al primo ordine erano formule, al secondo ordine non si sa, si fa riferimento alla nozione di proprietà o insieme senza caratterizzarla in alcun modo.
Al secondo ordine bisogna presupporre al minimo che tra le $P$ ce n'è necessariamente una che è verificata solo $0$ e successori (finiti di questo) e nient'altro per dimostrare la categoricità, ma in qualsiasi modo cerchi di dire questa cosa devo dirla magari così come l'ho detta adesso e non è una vera e propria definizione o caratterizzazione di questo dominio di variazione. E' un qualcosa che rimanda a nozioni intuitive.
Il dominio di variazione resta qualcosa di vago e molti suoi oggetti devono essere afferrati direttamente senza definizioni o caratterizzazioni per far funzionare dimostrazioni del genere.