Quoziente di polinomi modulo un ideale non principale

[Reyzet]

Salve a tutti ho questo esercizio che non so come risolvere.
Sia R sottoanello di Q[x], con
$\R={a+x^3f(x)|a \in Q, f(X)\in Q[x]}$
1. Provare che $\x^3,x^4,x^5$ sono irriducibili e che R non è un UFD.

Qui ho semplicemente fatto notare che non possiamo ridurli in R, dato che qui i polinomi hanno tutti grado maggiore di 3 (o al più sono costanti), quindi mancano i termini in x e x^2 per fattorizzare. Inoltre $\x^4$ divide $\x^8$ in R, ma non divide né $\x^3$ né $\x^5$ in R, per cui non è primo, dunque non può essere UFD.

2. Sia $\I=(x^3,x^5)$ ideale di R. Far vedere che gli elementi di R\I sono del tipo a+by (dove $\y=x^4+I$). Trovare poi l 'inverso di $\1+y$

So come funzionano i quozienti con ideali principali, ma non so come si ragiona con questo tipo, forse si deve usare l'algoritmo di divisione euclidea, ma mi sfugge qualcosa. Qualcuno ha idea di come si faccia?

[Reyzet]

Forse ho la risposta: prendiamo f(x) $\in Q[x]$, qui dividendo per x^2 si ha:
$\f(x)=q(x)x^2+ax+b$ e moltiplicando per x^3 e aggiungendo una costante generica razionale c ottengo
$\c+x^3f(x)=c+q(x)x^5+ax^4+bx^3$, a primo membro abbiamo il generico polinomio di R, da cui passando all'ideale si ha (ponendo $\p(x)=c+x^3f(x)$) $\p(x)-(c+ax^4)\in I$ e quindi $\p(x)+I=a(x^4+I)+c=ay+c$ (qui non sono del tutto sicuro) e questa scrittura è unica per ogni elemento di R\I.

Per l'inverso di 1+y ci devo pensare (non ho fogli sottomano) è giusto però il ragionamento? (Mi sembra sia 1-y con un calcolo veloce)

[Reyzet]

Qualcuno può darmi conferma della bontà del ragionamento? Mi è rimasto il dubbio su questo esercizio..