Esercizi sui sottogruppi.

[Lèo]

Ciao a tutti, vi chiederei di controllare i seguenti esercizi di teoria dei gruppi:

(i) \(\displaystyle H\subset G \) è un sottogruppo se e solo se \(\displaystyle \forall x,y\in H \) \(\displaystyle xy^{-1}\in H \).

Innanzitutto, l'operazione indotta su \(\displaystyle H \) è ancora associativa. Si vede l'elemento identità appartiene ad $H$ prendendo \(\displaystyle x=y \), da cui \(\displaystyle xy^{-1}=xx^{-1}=e \). Prendendo poi \(\displaystyle x=e \), si ha \(\displaystyle xy^{-1}=ey^{-1}=y^{-1}\in H \), ovvero in $H$ ogni elemento ha il suo opposto. Quindi $H$ è chiuso rispetto al prodotto poiché se \(\displaystyle y^{-1}\in H \) allora \(\displaystyle x(y^{-1})^{-1}=xy\in H \) \(\displaystyle \forall x,y\in H \).

(ii) Determinare i generatori del gruppo di Klein e tutti i suoi sottogruppi.

Denoto gli elementi del gruppi con \(\displaystyle K=\{I^+_+,I^+_-, I^-_+,I^-_-\} \); penso di poter come generatori \(\displaystyle I^+_- \) e \(\displaystyle I^-_+ \) poiché \(\displaystyle (I^-_+)^2=(I^+_-)^2=I^+_+ \) e \(\displaystyle I^+_-I^-_+=I^-_- \). Può andar bene? Per quanto riguarda i suoi sottogruppi: oltre a quelli banali, dovrebbe avere semplicemente quattro sottogruppi ciclici di ordine $2$. Mi sbaglio?

(iii) Per ogni coppia \(\displaystyle a,b\in\mathbb{Z} \), mostrare che \(\displaystyle a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} \) è un sottogruppo di \(\displaystyle \mathbb{Z}^+ \) generato da $a$ e \(\displaystyle b+7a \).

Siccome gli elementi dell'insieme hanno la forma \(\displaystyle n=ar+bs \) per opportuni interi \(\displaystyle r,s \), sicuramente \(\displaystyle 0\in H=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} \) scegliendo \(\displaystyle r=s=0 \). Inoltre, se \(\displaystyle n,m\in H \) allora \(\displaystyle n+m=a(r+r')+b(s+s'):=aR+bS\in H \) dimostrando la chiusura rispetto alla somma. Infine, se \(\displaystyle n\in H \), allora \(\displaystyle -n=a(-r)+b(-s)\in H \) poiché gli interi \(\displaystyle r,s \) ammettono certamente opposti. Quindi \(\displaystyle H \) è un sottogruppo. Per quanto riguarda la seconda richiesta: sono incerto su cosa significhi che tali elementi generino il gruppo. Bisogna dimostrare che ogni elemento di $H$ possa essere scritto come \(\displaystyle a^n+(7a+b)^m=(n+7m)a+mb \)?

[vict85]

Riguardo a (i), le idee ci sono ma la presentazione potrebbe essere migliorata e, ad essere pignoli, manca la dimostrazione che un sottogruppo soddisfa quella proprietà (seppur sia ovvio).

Riguardo a (ii), scrivendo gli elementi di \(K\) come \(\{1, a, b, c\}\) si ha che \(a^2=b^2=c^2=1\), \(ab=ba=c\), \(ac = ca = b\) e \(bc = cb = a\) quindi esistono diverse possibili scelte di generatori( \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\) e \(\{b, c\}\) ). I sottogruppi ciclici di ordine 2 sono 3, non 4. Non ci sono altri sottogruppi propri non banali.

Riguardo a (iii), come è definito \(\mathbb{Z}^+\)? Insomma di che gruppo si tratta? Da quello che scrivi dopo mi ha supporre che si tratti di \((\mathbb{Z}, +)\), è corretto? E' una notazione che non ho mai visto.
Supponendo che abbia ragione, ti è sufficiente dimostrare le seguenti cose:
1) Per quell'insieme vale (i);
2) \(b\) è contenuto in quel sottogruppo.

[Lèo]

Hai ragione, pardon, ho contato per errore anche l'identità nel fare i sottogruppi ciclici del gruppo di Klein. Per quanto riguarda \(\displaystyle \mathbb{Z}^+=(\mathbb{Z},+)\), ho scelto di fare la dimostrazione esplicita anziché usare (i); va bene quello che ho fatto? Inoltre non capisco perché per far vedere che il sottogruppo è generato da $a$ e $b+7a$ dovrei dimostrare che \(\displaystyle b\in H \) (credo si faccia semplicemente scegliendo \(\displaystyle r=0, s=1 \) nella definizione di \(\displaystyle n=b \)).

[vict85]

Si, la dimostrazione usando la definizione va bene uguale. Riguardo alla seconda parte devi mostrare che per ogni \(\displaystyle m,n\in \mathbb{Z} \), esistono \(\displaystyle s,t\in\mathbb{Z} \) tali che \(\displaystyle ma + nb = sa + t(b+7a) \). Che ha come soluzioni \(\displaystyle s = m - 7 \) e \(\displaystyle t = n \).

La frase su \(\displaystyle b \) era in effetti poco chiara. Intendevo dire che era sufficiente mostrare che \(\displaystyle b\in \langle a, b-7a \rangle \) perché \(\displaystyle b-7a\in H = \langle a, b\rangle \) e quindi l'implicazione \(\displaystyle \langle a, b-7a \rangle\leq H \) era banale.

E' comunque più interessante osservare che \(\displaystyle \langle a, b \rangle = \langle \mathrm{mcd}(a,b)\rangle \). La dimostrazione deriva dall'identità di Bezout, ma ti consiglio di cercare di dimostrarlo da solo prima di guardare la soluzione.

[Lèo]

Ok, grazie della risposta!