Sottogruppo generato da elementi commutanti.

[Lèo]

Sia \(\displaystyle H \) il sottogruppo generato da \(\displaystyle a,b\in G \). Mostrare che se \(\displaystyle ab=ba \), allora \(\displaystyle H \) è abeliano.

Si ha \(\displaystyle \forall x,y\in H \) che \(\displaystyle x=ar+bs \) e \(\displaystyle y=ar'+bs' \), per opportuni \(\displaystyle r,s,r',s'\in G \). Quindi: \[\displaystyle \begin{cases}xy=(ar+bs)(ar'+bs')=arar'+bsar'+arbs'+bsbs', \\ yx=(ar'+bs')(ar+bs)=ar'ar+ar'bs+bs'ar+bs'bs.\end{cases} \] Il problema è che da questo conto diretto non riesco a far vedere che \(\displaystyle xy=yx \) perché non so come usare l'ipotesi che \(\displaystyle ab=ba \). Qualche suggerimento? Ho l'impressione ci sia un modo più veloce di farlo vedere...

[vict85]

Quello che scrivi non ha senso, stai lavorando con gruppi non abeliani.
Ogni elemento di \(\langle a, b\rangle\) può essere scritto come un "parola" finita composta dalle sole lettere \(a\) e \(b\). In generale \(aba\) è diverso da \(aab\).

[Lèo]

Scusa vict, non ho capito la tua risposta. Non ho mai detto che il gruppo debba essere abeliano, solo che vale l'ipotesi \(\displaystyle ab=ba \) per i generatori del sottogruppo. Poi il fatto che \(\displaystyle H \) sia abeliano è proprio quello che dovrei dimostrare...

[Lèo]

In ogni caso ho un approccio migliore: scrivendo in notazione moltiplicativa, \(\displaystyle x\in H \) può essere scritto come \(\displaystyle a^{n_1}b^{n_2}...a^{n_{k-1}}b^{n_k} \), mentre \(\displaystyle y\in H \) diventa \(\displaystyle a^{m_1}b^{m_2}...a^{m_{l-1}}b^{m_l} \). Quindi \[\displaystyle xy=(a^{n_1}b^{n_2}...a^{n_{k-1}}b^{n_k})(a^{m_1}b^{m_2}...a^{m_{l-1}}b^{m_l}),\] ed essendo \(\displaystyle ab=ba \) è lecito scambiare i termini della moltiplicazione, da cui \[\displaystyle xy=(a^{m_1}b^{m_2}...a^{m_{l-1}}b^{m_l})(a^{n_1}b^{n_2}...a^{n_{k-1}}b^{n_k})=yx. \] In ogni caso non ho molta chiarezza su come scrivere gli elementi di un gruppo in funzione dei suoi generatori. La scrittura che ho usato l'ho trovata in rete, ma il mio libro fa solo l'esempio concreto di elementi di sottogruppi del tipo \(\displaystyle a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} \) rappresentabili come \(\displaystyle x=ar+bs \)...

[vict85]

La dimostrazione è abbastanza corretta.

Il mio commento è legato al fatto che un sottogruppo usa le operazioni del gruppo; non usare una diversa operazione.