Sia \(\displaystyle H \) il sottogruppo generato da \(\displaystyle a,b\in G \). Mostrare che se \(\displaystyle ab=ba \), allora \(\displaystyle H \) è abeliano.
Si ha \(\displaystyle \forall x,y\in H \) che \(\displaystyle x=ar+bs \) e \(\displaystyle y=ar'+bs' \), per opportuni \(\displaystyle r,s,r',s'\in G \). Quindi: \[\displaystyle \begin{cases}xy=(ar+bs)(ar'+bs')=arar'+bsar'+arbs'+bsbs', \\ yx=(ar'+bs')(ar+bs)=ar'ar+ar'bs+bs'ar+bs'bs.\end{cases} \] Il problema è che da questo conto diretto non riesco a far vedere che \(\displaystyle xy=yx \) perché non so come usare l'ipotesi che \(\displaystyle ab=ba \). Qualche suggerimento? Ho l'impressione ci sia un modo più veloce di farlo vedere...