Ordine di un elemento.

[Lèo]

Ciao ragazzi, vi propongo altri tre esercizi da controllare:

(i) Se \(\displaystyle x\in G \) ha ordine \(\displaystyle rs \), qual è l'ordine di \(\displaystyle x^r \)?

Per ipotesi si ha \(\displaystyle x^{rs}=1 \), quindi \((x^{r})^s=1\), per cui l'ordine \(\displaystyle k \) di \(\displaystyle x^r \) può essere al più $s$ (anche se a questo punto mi ero convinto che lo fosse già). Siccome \(\displaystyle x^{rk}=1=x^{rs} \), \(\displaystyle x^{rs-rk}=1 \) da cui necessariamente \(\displaystyle rs-rk=r(s-k)=0 \) poiché l'ordine di $x$ è proprio \(\displaystyle rs>rs-rk \) per quanto sopra. Quindi segue \(\displaystyle k=s \).

(ii) Se $x$ ha ordine $n$, qual è l'ordine di $x^r$?

Siccome \(\displaystyle x^{rk}=x^{n}=1 \), \(\displaystyle rk \) deve essere un multiplo di $n$ (se fosse \(\displaystyle an<rk<bn \) per qualche \(\displaystyle a,b \) allora per \(\displaystyle rk-an<n \) si avrebbe \(\displaystyle x^{rk-an}=1 \) contro l'ipotesi che l'ordine di $x$ sia $n$). Essendo però \(\displaystyle rk \) ovviamente anche multiplo di \(\displaystyle r \), dovrebbe essere prendendo il minimo di tali multipli \(\displaystyle rk=\text{mcm}(r,n) \) da cui $k$.

(iii) In ogni gruppi $ab$ e $ba$ hanno lo stesso ordine.

\(\displaystyle (ab)^n \) implica \(\displaystyle a(ba)^{n-1}b=1 \), ovvero \(\displaystyle (ba)^{n-1}=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1} \), da cui \(\displaystyle (ba)^n=1 \). Partendo da \(\displaystyle (ba)^n \) si può procedere analogamente per dimostrare l'implicazione opposta.

[killing_buddha]

Beh, (ii) è detto in modo molto confuso, non si capisce cosa hai trovato alla fine.

[Lèo]

Ciao, sono stato via: comunque ho trovato \( \displaystyle k=\text{mcm}(r,n)/r \) come ordine dell'elemento...