...ma se tu parti dall'assunzione che \(\displaystyle V_4\) è un sottogruppo normale di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\), allora quell'insieme quoziente ha una struttura di gruppo; inoltre, i laterali destri e sinistri coincidono.
Io parto da un altro presupposto: assumiamo che \(\displaystyle V_4\) è un sottogruppo di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\), e definiamo \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\) e pongo \(\displaystyle[a]_{\sim}*[b]_{\sim}=[ab]_{\sim}\).
La domanda è: \(\displaystyle*\) è un'operazione? Sappiamo che \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4\Rightarrow ab\in\mathrm{Alt}4\), ed analoghe affermazioni sull'insieme quoziente; ma se \(\displaystyle a\sim a^{\prime},b\sim b^{\prime}\) allora vale l'eguaglianza \(\displaystyle[ab]_{\sim}=\left[a^{\prime}b^{\prime}\right]_{\sim}\)?
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Re: Sottogruppo normale
da Alin » 29/08/2018, 09:21
Poniamo $V_4 = H$ e $A_4=G$,
assumiamo che $ H$ sia un sottogruppo di $G$ e $G/H = {gH | g in G}$, cioé l'insieme
dei laterali sinistri in $G$.
Noi abbiamo giá dimostrato che $ a,b∈A_4,a∼b⟺ab^(−1)∈V_4$ é una relazione di equivalenza nel sottogruppo $H$
L'ultimo passo é dimostrare se l''operazione
$⋅:G/H×G/H→G/H$ definita da $(xH)(yH)= (xyH)$ é ben definita: cioé
ee $(xH)= (x'H)$ e $(yH)= (y'H) rArr (xy)H =( x'y')H $
Supposto che $H$ sia normale allora $gH = Hg AA g in G$
Se $xH=x′H $ e $yH=y′H$ allora
$xyH=x(yH)=x(Hy)=x(Hy′)=(xH)y′=(x′H)y′=x′(Hy′)=x′(y′H)=x′y′HxyH=x(yH)=x(Hy)=x(Hy′)=(xH)y′=(x′H)y′=x′(Hy′)=x′(y′H)=x′y′H$
e cosí l'operazione é ben definita.
Al contrario, supposto che l'operazione é ben definita, in modo che ogni volta si ha
$ xH=x′H$ e $yH=y′H$, allora $xyH=x′y′H$, vogliamo mostrare che $ g^−1Hg⊆Hg AA g∈G$. Poiché $AA h∈H, hH=eH$, noi abbiamo che
$eHgH=egH=gH$ é uguale a$ hHgH=hgH$. Cosí $ gH=hgH$, per cui $ H=g^−1hgH$ e quindi $ g^−1hg∈H AAh∈H$. Perció, $g^−1Hg⊆H.$Questo vale per qualsiasi $ g∈G$, cosí $ g^−1Hg⊆H$, Dunque
$H◃G$
Cosí puó andare! Grazie
assumiamo che $ H$ sia un sottogruppo di $G$ e $G/H = {gH | g in G}$, cioé l'insieme
dei laterali sinistri in $G$.
Noi abbiamo giá dimostrato che $ a,b∈A_4,a∼b⟺ab^(−1)∈V_4$ é una relazione di equivalenza nel sottogruppo $H$
L'ultimo passo é dimostrare se l''operazione
$⋅:G/H×G/H→G/H$ definita da $(xH)(yH)= (xyH)$ é ben definita: cioé
ee $(xH)= (x'H)$ e $(yH)= (y'H) rArr (xy)H =( x'y')H $
Supposto che $H$ sia normale allora $gH = Hg AA g in G$
Se $xH=x′H $ e $yH=y′H$ allora
$xyH=x(yH)=x(Hy)=x(Hy′)=(xH)y′=(x′H)y′=x′(Hy′)=x′(y′H)=x′y′HxyH=x(yH)=x(Hy)=x(Hy′)=(xH)y′=(x′H)y′=x′(Hy′)=x′(y′H)=x′y′H$
e cosí l'operazione é ben definita.
Al contrario, supposto che l'operazione é ben definita, in modo che ogni volta si ha
$ xH=x′H$ e $yH=y′H$, allora $xyH=x′y′H$, vogliamo mostrare che $ g^−1Hg⊆Hg AA g∈G$. Poiché $AA h∈H, hH=eH$, noi abbiamo che
$eHgH=egH=gH$ é uguale a$ hHgH=hgH$. Cosí $ gH=hgH$, per cui $ H=g^−1hgH$ e quindi $ g^−1hg∈H AAh∈H$. Perció, $g^−1Hg⊆H.$Questo vale per qualsiasi $ g∈G$, cosí $ g^−1Hg⊆H$, Dunque
$H◃G$
Cosí puó andare! Grazie
- Alin
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