Sottogruppo normale

[Alin]

Mi saró espressosso male. Comunque per concludere il discorso è poter andare avanti,
La classe di coniugio di $σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$  ha ordine $151351200$ mentre $ordA15=653837184000$

Ebbene $Co(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di$ An$, ma non é un sottogruppo normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
Dico bene?
Grazie

[dan95]

Se prendi solo $Co(\sigma)$ non è un sottogruppo perché manca l'elemento neutro in quanto $\sigma$ e $\text{Id}$ hanno diversa struttura ciclica. Se però prendi $Co(\sigma) \cup Co(\text{Id})$ diventa un sottogruppo (normale).

P.s. $Co(\text{Id})=\text{Id}$

[Alin]

Fin quí ci Siamo! ....proverei a ragionare su quello che a scritto j18eos. Comunque un aiutino ci sta. Grazie

propongo di dimostrare che la proiezione canonica$ π$ di $A_4$ sull'insieme quoziente $(A_4)/(V_4)$ è effettivamente un omomorfismo di gruppi con $kerπ=V4$. 

La relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: $a,b∈Alt4,a∼b⟺ab−1∈V4$

[Alin]

J18eos, ma quando proponi di dimostrare che la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\) sull'insieme quoziente \(\displaystyle\mathrm{Alt}4/V_4\) è effettivamente un omomorfismo di gruppi con \(\displaystyle\ker\pi=V_4\).

e poi dici: la relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\). cosa intendi? Di dimostrare la relazione di equivalenza in un gruppo?
Cioé:



O di dimostrare l"omomorfismo definito da $pi(g)= gH$ e da qui arrivare a far vedere che
$pi(g)pi(n)= pi(gn)= (gn)H.$
Grazie mille a tutti voi.

[j18eos]

Se non sei sicura(?) che quella sia una relazione di equivalenza: dimostralo.

...e cortesemente la "j" è minuscola;
grazie.

[Alin]

Grazie j118eos e scusami per averti modificato il nome. Io sono sicuro che si tratta di una relazione di equivalenza. L'ho pure dimostrato, mi sembra.
Ma tu quindi intendivi, premesso che $V_4$ é un sottogruppo normale, che l'omomorfismo venisse dimostrato attraverso la relazione di equivalenza? Sto cercando di capire.

[j18eos]

Grazie j118eos e scusami per averti modificato il nome...

"È un'emergenza d'amore il mio bisogno di te. Un'esigenza così speciale per me. Che assomiglia a un dolore per me."
Laura Pausini

...Ma tu quindi intendevi, ... che l'omomorfismo venisse dimostrato attraverso la relazione di equivalenza? Sto cercando di capire.

Avendo dimostrato che quella è una relazione di equivalenza, il passo successivo è dimostrare che essa è compatibile con le operazioni di gruppo.

Ovvero, dovresti dimostrare che sull'insieme \(\displaystyle\mathrm{Alt}4_{\displaystyle/\sim}\) la posizione \(\displaystyle[a]_{\sim}*[b]_{\sim}=[a\cdot b]_{\sim}\) definisce un'operazione di gruppo; di conseguenza la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) è un omomorfismo (suriettivo) di gruppi con \(\displaystyle\ker\pi=V_4\).

[Alin]

Scusami di nuovo j18eos...provo a dimostrare che l'insieme quoziente$ = A_4/V_4$ è un gruppo:
chiusura:
consideriamo $a,b in A_4$ allora $(V_4a)(V_4b) =V_4(aV_4)b=V_4(V_4a)b=V_4V_4ab=V_4ab$
$a,b in A_4$ e $V_4ab in A_4/V_4$ Perció $A_4/V_4$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione dei laterali.
associativitá:
$V_4a[ ( V_4b )( V_4c ) ] =V_4a(V_4bc)= V_4a(bc)=V_4(ab)c=(V_4ab) V_4c=[ ( V_4a )(V_4b ) ]V_4c $
esistenza dell'identitá:
$V_4=V_4*e in A_4/V_4$ Se prendiamo adesso un qualsiasi elemento di $A_4/V_4$, allora
$V_4(V_4a)=(V_4*e)(V_4a)=V_4ea=V_4a$
$(V_4a)V_4=(V_4a)(V_4e)=V_4ae=V_4a$
esistenza dell'inverso:
$(V_4a)(V_4a^-1)=V_4aa^-1=V_4e=V_4$

$(V_4a^-1)(V_4a)=V_4a^-1a=V_4e=V_4$
Se non dovesse essere cosí vi prego di darmi una mano. Grazie

[j18eos]

C'è solo una gaffe nella chiusura: già è stato definito \(\displaystyle(V_4a)(V_4b)=V_4(ab)\).

Qui devi verificare che tale posizione non dipende dal rappresentante del laterale; altrimenti tutti i sottogruppi sarebbero normali...

[Alin]

Proviamo a formulare meglio la chiusura:
$1)$
nel nostro caso $V_4$ é un sottogruppo normale per cui i laterali destri e i laterali sinistri coincidono: per qualsiasi elemento $a in A_4, V_4a= aV_4$.
Noi scegliamo che $A_4/V_4 ={V_4a: a in A_4}$
Premesso questo, supponiamo che $a, b in A_4$ allora
$(V_4a)(V_4b)=V_4(aV_4)b=V_4(V_4a)b=V_4V_4ab=V_4ab$
$a,b∈A_4$ , $V_4ab∈A_4/V_4$. Perció $A_4/V_4$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione dei laterali.
Questa é una conseguenza della definizione di gruppo quoziente che ha come elementi i suoi laterali e il prodotto tra laterali é definito come $(aV_4)(bV_4)= (V_4a)(V_4b) =(ab)V_4= V_4(ab)$

$2$
nel nostro caso $V_4$ é un sottogruppo normale per cui i laterali destri e i laterali sinistri coincidono: per qualsiasi elemento $a in A_4, V_4a= aV_4$.
Noi scegliamo che $A_4/V_4 ={V_4a: a in A_4}$
Dalla definizione di gruppo quoziente, gli elementi di $A_4/V_4$ sono i laterali di $V_4 $ in $A_4$, dove il gruppo prodotto
é definito da $(aV_4)(bV_4)= (V_4a)(V_4b) = V_4ab$
L'operazione di prodotto tra laterali é ben definita.(Qui peró ometto la dimostrazione)
Da qui ne consegue la chiusura:

$a,b in A_4$ ne consegue che $V_4ab$ é un laterale $in A_4/V_4$.
Quali dei due punti puó andare bene?

Grazie, aspetto consigli per migliorare.