Ordine di una permutazione

[marioslaz]

Buongiorno a tutti. Sono perfettamente consapevole che sull'argomento ci sono altre discussioni, ma il mio dubbio verte su una soluzione di un esercizio che non condivido e vorrei il Vostro parere. Ecco il testo:

Determinare il numero di permutazioni del gruppo simmetrico $S_5$:
a. che hanno periodo 3
b. che hanno periodo 6.
SOLUZIONE Per determinare l'ordine di una permutazione è necessario scriverla come prodotto di cicli disgiunt e calcolare il minimo comune multiplo degli ordini di tali cicli.
a. Se $\sigma in S_5$ ha periodo 3 ogni ciclo non banale deve avere lunghezza 3, e poiché in cicli devono essere disgiunti ci può essere un solo ciclo, cioè $\sigma = (a, b, c)$. Ci sono 5 scelte per a, 4 per b e 3 per c, poi si divide per 3 perchè $(abc)=(bca)=(cab)$, quindi le possibilità per $\sigma$ sono in tutto 20.
b. Se $\sigma in S_5$ ha periodo 6 deve essere il prodotto di due cicli disgiunti, uno di periodo 3 e uno di periodo 2 (non esistono in $S_5$ cicli di lunghezza 6). Dal punto precedente sappiamo che il ciclo di lunghezza 2 è univocamente determinato, perchè deve scambiare tra di loro gli unici due elementi fissati dal ciclo d lunghezza 3. Quindi le possibilità per $\sigma$ sono in tutto 20.

(N.B.: ho ricopiato fedelmente, compreso errori ortografici )
Ora, io il punto a l'avrei risolto dicendo che gli elementi di $\sigma$ sono $((5),(3)) times 2$ perché ciascuna delle $((5),(3))$ genera due distinte permutazioni: una con i restanti due elementi come punti fissi, l'altra con i medesimi due elementi permutati. In pratica: $(abc)(d)(e)$ e $(abc)(de)$ (ho indicato anche i punti fissi per completezza). Il risultato è il medesimo, ma m'indirizza verso la soluzione di b. Infatti, per lo stesso ragionamento questa volta gli elementi sono solo $((5),(3))$ (quindi la metà) perché le permutazioni in cui ci sono due punti fissi non hanno periodo 6.
Cosa ne pensate?

[Steven]

Direi che secondo il tuo ragionamento, per il punto (a), stai considerando che la permutazione $(abc)(de)$ ha periodo $3$, ma questo non e' vero (ha periodo $6$). Quindi e' giusto che le possibilita' per $sigma$ siano $20$ e non $40$.

Ciao!

[marioslaz]

Direi che secondo il tuo ragionamento, per il punto (a), stai considerando che la permutazione $(abc)(de)$ ha periodo $3$, ma questo non e' vero (ha periodo $6$). Quindi e' giusto che le possibilita' per $sigma$ siano $20$ e non $40$.

Ciao!

Scusa non riesco a comprendere la tua risposta. le $((5),(3)) times 2$ sono 20, esattamente come viene nella soluzione proposta, non 40. Però mi hai dato uno spunto interessante e dà ragione alla soluzione originale. Infatti i possibili cicli di ordine 3 devono avere per forza gli altri due elementi fissi (perché altrimenti diventano permutazioni di ordine 6 come giustamente facevi notare ed io avevo sbagliato nel mio ragionamento) però sono lo stesso $((5),(3)) times 2$, infatti contando solo $((5),(3))$ conterei $(a b c)$ ma non $(a c b)$. Quindi la risposta ad entrambi i punti a e b è 20 perché sono numericamente le stesse: nel punto a prendi i cicli di periodo 3 singolarmente (intendo quindi con i restanti due elementi punti fissi) e nel punto b gli abbini con la trasposizione dei restanti due elementi (che quindi portano la composizione ad avere ordine 6). Può andare?

AGGIORNAMENTO

Ho scoperto la falla nel mio ragionamento iniziale. Il numero di cicli di ordine k in un gruppo simmetrico $S_n$ è $((n),(k)) times (k-1)!$.
Quindi la risposta al punto a è $((5),(3)) times 2! = (5!)/(3! * 2!) times 2! = 5*4 = 20$
La risposta al punto b è sempre 20 perché ogni ciclo di ordine 3 in $S_5$ è combinabile con un unico ciclo di ordine 2.
Grazie mille Steven per avermi dato l'imbeccata per arrivare a capire il mio errore.

[Steven]

Prego, anzi scusa per l'errore, avevo pigramente pensato che quel coefficiente binomiale fosse $20$ senza fare il facile calcolo a mente! Ora direi che la soluzione e' giusta