Esistono gruppi ciclici di ogni ordine

[luca69]

Un gruppo $G$ è completamente determinato da come agisce la legge di composizione binaria, ovvero dalla coppia di omomorfismi di gruppi:

\begin{alignat*}{2} \theta:G&\longrightarrow& Sym(G) \\ a&\longmapsto& \theta_a:G &\longrightarrow G \\ &&b&\longmapsto \theta_a(b):=ab \end{alignat*}
\begin{alignat*}{2} \gamma:G&\longrightarrow& Sym(G) \\ a&\longmapsto& \gamma_a:G &\longrightarrow G \\ &&b&\longmapsto \gamma_a(b):=ba \end{alignat*}
con $\theta$ e $\gamma$ tali da soddisfare le condizioni:

i) $\theta_a(b)=\gamma_b(a)$, $\forall a,b \in G$, conseguenza dell'identità $ab=ab$;
ii) $\theta_a\gamma_b=\gamma_b\theta_a$, $\forall a,b \in G$, conseguenza della proprietà associativa.

Fin qui, in generale. Supponiamo, ora, che $G$ sia finito di ordine $n$: $G={a_0,...,a_{n-1}}$. Definiamo l'applicazione $\rho \in Sym(G)$ mediante $\rho(a_k):=a_{k+1 \quad \mod \quad n}$, $k=0,...,n-1$, per cui $\rho(a_k):=a_{k+1}$ per $k=0,...,n-2$ e $\rho(a_{n-1})=a_0$. Risulta: $\rho^i(a_j)=a_{j+i \quad \mod \quad n}=a_{i+j \quad \mod \quad n}=\rho^j(a_i)$ (in particolare, $\rho^0=\iota_{Sym(G)}$). Pertanto, ponendo:

$\gamma_{a_i}:=\theta_{a_i}:=\rho^i$, $\quad i=0,...,n-1$

risutano soddisfatte le condizioni i) e ii). I sottogruppi di $Sym(G)$ (qui coincidenti) $\theta_G={\theta_{a_i}=\rho^i}$ e $\gamma_G={\gamma_{a_i}=\theta_{a_i}}$ determinano la legge di composizione (commutativa):

$a_ia_j=a_{j+i \quad \mod \quad n}$

da cui $a_i^k=a_{ki \quad \mod \quad n}$ e quindi $a_1^k=a_{k \quad \mod \quad n}=a_k$, per $k=0,...,n-1$; pertanto $G={a_k, k=0,...,n-1}={a_1^k, k=0,...,n-1}=<<a_1>>$: ciò è vero qualsiasi sia $n$, per cui esistono gruppi ciclici di ogni ordine.

Questo risultato, seppure "basicissimo", mi fa pensare che sia possibile utilizzare questa via¹ per indagare la struttura dei gruppi finiti al variare dell'ordine, specie se non abeliani ($\gamma_a \ne \theta_a$ per qualche $a in G$). No?

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Note

1. Trovare due sottogruppi di ordine $n$ di $Sym(G)$ tali da soddisfare le condizioni i) e ii) sopra. ↑

[killing_buddha]

esistono gruppi ciclici di ogni ordine...

...finito o numerabile. Infatti, un gruppo che è generato da un insieme finito o numerabile (tali sono tutti i gruppi ciclici, generati da un unico singoletto) non può avere cardinalità maggiore di \(\aleph_0\). La dimostrazione del fatto generale è relativamente semplice, mentre nel caso ciclico è davvero ovvia.

Il resto mi sembra solo un modo goffo di riscoprire il teorema di Cayley.

[luca69]

Più che riscoprire Cayley, volevo provare a farne un minimo uso concreto (dev'essere una deformazione professionale di quasi vent'anni d'azienda). Ho pensato, autoprovocatoriamente: cosa mi serve sapere che ogni gruppo di ordine $n$ è isomorfo ad un sottogruppo del gruppo delle permutazioni su $n$ oggetti, se poi non uso questo fatto per cercare di capire com'è fatto "in carne ed ossa" il gruppo stesso? Quindi ho provato a ritrovare fatti (ovvi) sulla struttura di gruppi finiti a partire da sottogruppi di $Sym$: nell'esempio del primo post, "senza sapere" che esistono gruppi ciclici di ogni ordine, ho ritrovato questo fatto (ovvio) dall'aver esibito un opportuno sottogruppo di $Sym$. I primi punti successivi di questo "programma" potrebbero essere:

1. dimostrare che $n \le 5 \Rightarrow \gamma_a=\theta_a, \forall a \in G$, ovvero che i gruppi di ordine $\le 5$ sono abeliani (sarei interessato alla dimostrazione non del fatto in sè per altra via, ma alla dimostrazione per questa via);

2. esibire altri sottogruppi di $Sym$ per vedere che, per certi ordini $n$, esistono gruppi con altre strutture (es. gruppi diedrali).

[Abigaille]

A me non sembra un risultato così sconvolgente [quello del titolo], cioè, è ovvio che, dato n, esiste un gruppo ciclico di ordine n, che sono gli interi modulo n rispetto alll'addizione

[luca69]

A me non sembra un risultato così sconvolgente [quello del titolo], cioè, è ovvio che, dato n, esiste un gruppo ciclico di ordine n, che sono gli interi modulo n rispetto alll'addizione

No, non lo è di certo... Il titolo era effettivamente fuorviante, per cui l'ho cambiato in quello che era/è davvero il mio focus. Ma faccio un altro esempio per far capire meglio cosa intendevo.

Un gruppo $ G $ è completamente determinato da come agisce la legge di composizione binaria, ovvero dalla coppia di omomorfismi di gruppi:

\[ \begin{alignat*}{2} \theta:G&\longrightarrow& Sym(G) \\ a&\longmapsto& \theta_a:G &\longrightarrow G \\ &&b&\longmapsto \theta_a(b):=ab \end{alignat*} \]
\[ \begin{alignat*}{2} \gamma:G&\longrightarrow& Sym(G) \\ a&\longmapsto& \gamma_a:G &\longrightarrow G \\ &&b&\longmapsto \gamma_a(b):=ba \end{alignat*} \]
con $ \theta $ e $ \gamma $ tali da soddisfare le condizioni:

i) $ \theta_a(b)=\gamma_b(a) $, $ \forall a,b \in G $, conseguenza dell'identità $ab=ab$;
ii) $ \theta_a\gamma_b=\gamma_b\theta_a $, $ \forall a,b \in G $, conseguenza della proprietà associativa.

Posto $\Theta:={\theta_a, a \in G}$ e $\Gamma:={\gamma_a, a \in G}$, noto intanto che $G$ abeliano $Leftrightarrow \Theta=\Gamma$.

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Infatti, $G$ abeliano $\Rightarrow ab=ba$, $\forall a,b \in G \Rightarrow$ $\theta_a(b)=\gamma_a(b)$, $\forall a,b \in G \Rightarrow$ $\theta_a=\gamma_a$, $\forall a \in G \Rightarrow$ $\Theta=\Gamma$; viceversa, $\Theta=\Gamma \Rightarrow$ $\exists \sigma \in Sym(G)$ tale che $\theta_a=\gamma_{\sigma(a)}$, $forall a \in G \Rightarrow$ $\theta_a(b)=\gamma_{\sigma(a)}(b)$, $forall a,b \in G \Rightarrow$ [per i) sopra] $\gamma_b(a)=\gamma_{\sigma(a)}(b)$, $forall a,b \in G \Rightarrow$ [caso particolare $b=\sigma(a)$] $\gamma_{\sigma(a)}(a)=\gamma_{\sigma(a)}(\sigma(a))$, $forall a \in G \Rightarrow$ [le $\gamma_g$ sono -in particolare- iniettive] $a=\sigma(a)$, $forall a \in G \Rightarrow$ $\theta_a=\gamma_a$, $forall a \in G \Rightarrow G$ abeliano.

Ora, per ii) sopra si ha $ΘΓ=ΓΘ$, da cui $ΘΓ≤Sym(G)$. Quindi, posto $l:=|Θ∩Γ|$, $n:=|Θ|$ ($=|G|$) e notando che $|ΘΓ|=n^2//l$, si ha: $l≤n≤n^2//l≤n!$, con (Lagrange) $l|n ∧ (n^2//l)|n!$. Ora, $Θ≠Γ⇒l<n<n^2//l≤n!$, per cui, se $|G|=n=p$, con $p$ primo, allora $l=1$ e quindi $p^2|p!$: contraddizione, perchè $p^2$ non divide $p!$. Non rimane che concludere che $|G|=p$ ($p$ primo) $⇒Θ=Γ⇒G$ abeliano.

Innanzitutto, è corretto? Se lo fosse, mi chiedevo se si possono usare direttamente le immagini isomorfe $\Theta$ e $\Gamma$ di $G$ in $Sym(G)$ per ottenere altre, meno banali, informazioni sulla struttura di $G$.