Ciao a tutti! Studiando il teorema di Morita sull'equivalenza di categorie di moduli ho trovato la seguente proprietà.
Siano $R$ and $S$ Morita equivalenti tramite $F: R-mod \to S-mod$ e sia $M$ un $R-$modulo. Allora $M$ è finitamente generato se e solo se $F(M)$ è finitamente generato.
Applico la seguente caratterizzazione dei moduli fintamente generati: $M$ è f.g se e solo se data una famiglia $\{N_i | i \in I\}$ di sottomoduli di $M$ con $M=\sum_{i \in I}N_i$, esiste un sottoinsieme finito $J \subset I$ tale che $M=\sum_{i\in J} N_i$.
Sia data una famiglia $\{N_i |i \in I\}$di sottomoduli di $F(M)$ con $\sum_{i \in I}N_i=F(M)$. Allora esistono $A_i$ con $F(A_i)=N_i$ for every $i \in I$. Il testo afferma che gli $A_i$ sono $R-$ moduli.Allora $F(M)=F(\sum_{i \in I}A_i)$. Applicando $G$ a entrambi i membri ottengo $M= \sum_{i \in I}A_i$. Per hp $M$ è f.g così trovo un sottoinsieme finito $J$ of $I$ e concludo che $F(M)$ è f.g.
Ciò che non mi è chiaro è questo: gli $A_i$ sono $R-$moduli, ma non dovrei avere dei sottomoduli di $M$ per poter applicare la caratterizzazione dei moduli f.g? Se sì, come faccio a dire che gli $A_i$ sono sottomoduli di $M$? Immagino dipenda dal fatto che le loro immagini tramite $F$ stanno in $F(M)$ e che $F$ induce un'equivalenza di categorie ma non saprei come. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie!