Un problema di isomorfismo

[GBX1]

Stavo studiando un esercizio che chiede di dimostrare che, dati R[x] (anello dei polinomi a coefficienti reali) e f(x) = polinomio di secondo grado a coefficienti in R, il quoziente R[x]/(f(x)) è isomorfo a C (numeri complessi).
Allora ho pensato di usare il Teorema Fondamentale di Omomorfismo (TFO), stabilendo anzitutto un omomorfismo H come segue:

H: R[x] ------> C

p(x) ------> a + ib

(dove p(x) è un polinomio di R[x], e a e b sono, rispettivamente, il termine noto e il coefficiente del termine di 1° grado di p(x)); allora:
KerH = {p(x)| a = b = 0} ==> KerH = (f(x)); Im(H) = C ; il TFO fornisce la relazione di isomorfismo:

R[x]/kerH = R[x]/(f(x)) isomorfo a Im(H) = C

.
Tutto bene, peccato che H non sia un omomorfismo di anelli.
Ho fatto altri tentativi con diverse espressioni di H, ma non sono venuto a capo di nulla.
Qualcuno ha una buona idea su come definire H in modo che sia un omomorfismo di anelli e che permetta di dimostrare l'isomorfismo richiesto?

[killing_buddha]

Dati R[x] (anello dei polinomi a coefficienti reali) e f(x) = polinomio di secondo grado a coefficienti in R, il quoziente R[x]/(f(x)) è isomorfo a C (numeri complessi).

Per come l'hai scritto, questo claim è falso; basta considerare che \(K=\mathbb R[X]/(X^2)\) non può essere un campo (il polinomio è riducibile, quindi $X$ è un divisore dello zero in $K$.

Semmai, potresti dover dimostrare che quando $f(X)$ è irriducibile, allora l'anello \(\mathbb R[X]/(f(X))\) è isomorfo a $\mathbb C$. Questo si dimostra davvero con il primo teorema di isomorfismo. Ti è sufficiente definire \(\mathbb R[X]\to \mathbb C\) mandando $X$ in $\alpha$, la radice complessa tale che $f(X)=X^2+aX+b=(X-\alpha)(X-\bar\alpha)$; esteso per $RR$-linearità questo è un epimorfismo di anelli (in effetti, di $RR$-algebre), e ha per nucleo esattamente $(f(X))$. Dove ho usato che $f(X)$ era irriducibile?

[GBX1]

Hai ragione, avevo dimenticato di dire che il polinomio è irriducibile.
Indignor quandoque bonus dormitat Homerus...

[killing_buddha]

Quindi ora ce l'hai fatta?

[GBX1]

Beh, si.