Proposizione classe di coniugio

[dan95]

Stamane mi è venuta in mente questa proposizione

Sia $G$ un gruppo finito. Consideriamo $g \in G$ tale che $g^k \in Co(g)$ per ogni $1 \leq k <o(g)$, allora $o(g)=1$ o $p$ primo.

[killing_buddha]

Cos'è $Co(g)$?

[dan95]

Classe di coniugio

[Steven]

Ciao, detta cosi' e' facile da confutare prendendo un elemento $g$ di ordine $2$.

Ma anche lasciando stare questo caso, vedi ad esempio che per $(1,2,3) in S_3$ la proposizione non regge, giacche' $(1,2,3)$ e il suo quadrato $(1,3,2)$ sono coniugati.

[dan95]

Anche io avevo pensato al controesempio (1 2 3) inizialmente...


Il problema è sorto quando ho fatto il seguente ragionamento (che evidentemente presenta una pecca):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponiamo $g \ne e$ e sia $p$ primo tale che $p|o(g)$ allora per ipotesi esiste $\gamma$ tale che $\gamma^{-1} g \gamma=g^p$ da cui $\gamma^{-1} g^{\frac{o(g)}{p}} \gamma=e$ quindi $g \in Co(e)$ assurdo.

In realtà l'ipotesi che ho usato è che $o(g)$ è un numero intero composto e quindi la proposizione va riformulata...